MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
peu le maillage est très grand. Cela conduit à une sorte d’optimisation du temps de calcul et
de la quantité de calcul, mais, en revanche, conduit à des études préalables longues et coûteuses
qui restent en général du domaine du spécialiste. C’est précisément la méthode retenue dans
l’étude de la résistance des matériaux ; on note à ce propos que l’on a affaire à des domaines de
même type.
1. Considérations sur les équations aux dérivées partielles d’ordre
au plus égal à deux
Dans un repère cartésien orthonormé tridimensionnel de coordonnées (z, y, z), l’équation aux
dérivées partielles du deuxième ordre la plus générale à laquelle obéit la fonction Q s’écrit de la
façon suivante :
Ici encore, les cas offerts par la physique sont généralement des formes explicites, et c’est
plutôt l’étude des formes linéaires qui va retenir notre attention. Nous limitons toutefois notre
étude aux équations linéaires à deux variables indépendantes x et y (ou t), ainsi l’équation
devient :
A(x, Y>Z + B(x, Y)
où D est une fonction pouvant dépendre linéairement de a, g et g uniquement.
L’analyse de ce cas particulier permet de distinguer trois types d’équations aux dérivées
partielles linéaires du deuxième ordre selon les racines de l’équation caractéristique (théorie de
Monge (174661818) - Ampère (177551836)) :
1. B2(x,y) - 4A(x,y)C(x, y) < 0 : c’est le type elliptique, il s’agit de l’équation de Poisson
(1781-1840) qui admet comme cas particulier l’équation de Laplace,
2. B2(x, y)-4A(x, y)C(x, y) = 0 : c’est le type parabolique, le prototype est fourni par l’équation
de la propagation de la chaleur ou encore de la diffusion,
3. B2(x, y) ~ 4A(x, y)C(x, y) > 0 : c’est le type hyperbolique dont l’exemple est l’équation de
propagation des ondes (cordes vibrantes par exemple).
La recherche d’une solution numérique à l’intérieur d’un domaine D passe par la connaissance
de certains renseignements concernant la fonction @, il s’agit des conditions aux limites
(éventuellement à un instant t) : ce sont les conditions sur la frontière F du domaine D. Parmi
les différentes manières d’imposer les conditions aux limites, nous évoquerons les deux plus
importantes :
a. Les conditions de Dirichlet (180551859). En tout point de la frontière F, nous connaissons
la valeur de la fonction a, c’est aussi le problème de Cauchy.
b. Les conditions de van Neumann (1832-1925). En tout point de la frontière F du domaine,
nous connaissons la valeur de la dérivée norrnale de la fonction a. Généralement ce type de
conditions conduit à utiliser une méthode d’intégration implicite.
Remarque 1 : Les conditions aux limites peuvent dépendre du temps. Par exemple, il est
possible d’étudier la propagation d’une perturbation thermique sinusoïdale dans un milieu
matériel.
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DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
peu le maillage est très grand. Cela conduit à une sorte d’optimisation du temps de calcul et
de la quantité de calcul, mais, en revanche, conduit à des études préalables longues et coûteuses
qui restent en général du domaine du spécialiste. C’est précisément la méthode retenue dans
l’étude de la résistance des matériaux ; on note à ce propos que l’on a affaire à des domaines de
même type.
1. Considérations sur les équations aux dérivées partielles d’ordre
au plus égal à deux
Dans un repère cartésien orthonormé tridimensionnel de coordonnées (z, y, z), l’équation aux
dérivées partielles du deuxième ordre la plus générale à laquelle obéit la fonction Q s’écrit de la
façon suivante :
Ici encore, les cas offerts par la physique sont généralement des formes explicites, et c’est
plutôt l’étude des formes linéaires qui va retenir notre attention. Nous limitons toutefois notre
étude aux équations linéaires à deux variables indépendantes x et y (ou t), ainsi l’équation
devient :
A(x, Y>Z + B(x, Y)
où D est une fonction pouvant dépendre linéairement de a, g et g uniquement.
L’analyse de ce cas particulier permet de distinguer trois types d’équations aux dérivées
partielles linéaires du deuxième ordre selon les racines de l’équation caractéristique (théorie de
Monge (174661818) - Ampère (177551836)) :
1. B2(x,y) - 4A(x,y)C(x, y) < 0 : c’est le type elliptique, il s’agit de l’équation de Poisson
(1781-1840) qui admet comme cas particulier l’équation de Laplace,
2. B2(x, y)-4A(x, y)C(x, y) = 0 : c’est le type parabolique, le prototype est fourni par l’équation
de la propagation de la chaleur ou encore de la diffusion,
3. B2(x, y) ~ 4A(x, y)C(x, y) > 0 : c’est le type hyperbolique dont l’exemple est l’équation de
propagation des ondes (cordes vibrantes par exemple).
La recherche d’une solution numérique à l’intérieur d’un domaine D passe par la connaissance
de certains renseignements concernant la fonction @, il s’agit des conditions aux limites
(éventuellement à un instant t) : ce sont les conditions sur la frontière F du domaine D. Parmi
les différentes manières d’imposer les conditions aux limites, nous évoquerons les deux plus
importantes :
a. Les conditions de Dirichlet (180551859). En tout point de la frontière F, nous connaissons
la valeur de la fonction a, c’est aussi le problème de Cauchy.
b. Les conditions de van Neumann (1832-1925). En tout point de la frontière F du domaine,
nous connaissons la valeur de la dérivée norrnale de la fonction a. Généralement ce type de
conditions conduit à utiliser une méthode d’intégration implicite.
Remarque 1 : Les conditions aux limites peuvent dépendre du temps. Par exemple, il est
possible d’étudier la propagation d’une perturbation thermique sinusoïdale dans un milieu
matériel.
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