14 Intégration des équations
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‘ i i aux dérivées partielles
Nous nous proposons d’étudier quelques méthodes d’intégration d’équations aux dérivées partielles du premier et du deuxième ordre dans le champ réel. Ce problème généralise l’intégration
des équations différentielles ordinaires lesquelles ne dépendent que d’une seule variable ; à partir
du moment où nous sommes en présence de plusieurs variables, dans les équations, figurent,
presque de façon inéluctable, des dérivées partielles.
Cette remarque induit une conséquence immédiate : les méthodes que nous allons développer
peuvent également s’appliquer à la résolution des équations différentielles ordinaires.
Hormis quelques techniques très pointues attachées à des problèmes d’espèce et qui sortent
du cadre de cet enseignement, on peut dire que, grosso,modo, les méthodes utilisées ont toutes
en dénominateur commun la réalisation d’un maillage se superposant au domaine D sur lequel
on désire effectuer l’intégration numérique. C’est aux nœuds de ce maillage que l’on calcule les
valeurs de la fonction faisant l’objet de l’équation aux dérivées partielles. On voit bien qu’il
s’agit de la généralisation de la notion de pas, celui-ci pouvant être constant ou variable selon
les besoins.
Le premier problème qui se pose concerne les domaines ayant un point à l’infini, tandis que
le second concerne les techniques à pas variables. Il ne faut voir là que des problèmes liés à
la géométrie du domaine ainsi qu’à la nature de l’équation aux dérivées partielles. Ce sont les
raisons qui expliquent qu’il existe deux types de méthodes numériques pour intégrer les équations
aux dérivées partielles :
a. les méthodes aux différences finies,
b. les méthodes aux éléments finis.
Fondamentalement, ce sont les mêmes techniques qui utilisent les mêmes approximations
des opérateurs différentiels, et ce qui les différencie repose sur la technique de maillage du
domaine considéré. Les méthodes aux différences finies exploitent un maillage à pas constants
(quel que soit le type de coordonnées utilisées) et proposent deux types de résolution : l’une
est explicite, c’est-à-dire que les inconnues aux nœuds du maillage sont données explicitement
par les équations, l’autre est implicite, alors les inconnues constituent un système linéaire qu’il
convient d’inverser. Dans ce dernier cas, on a affaire à une matrice «creuse », c’est-à-dire ne
comportant que des zéros hormis la diagonale et son voisinage, il existe alors des méthodes
d’inversion spécifiques de ce type de matrices (cJ le chapitre 5 consacré au calcul matriciel).
Les méthodes aux éléments finis proposent un maillage adapté au type de problème considéré :
là où la fonction inconnue varie beaucoup, le maillage est serré, là où la fonction inconnue varie
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Nous nous proposons d’étudier quelques méthodes d’intégration d’équations aux dérivées partielles du premier et du deuxième ordre dans le champ réel. Ce problème généralise l’intégration
des équations différentielles ordinaires lesquelles ne dépendent que d’une seule variable ; à partir
du moment où nous sommes en présence de plusieurs variables, dans les équations, figurent,
presque de façon inéluctable, des dérivées partielles.
Cette remarque induit une conséquence immédiate : les méthodes que nous allons développer
peuvent également s’appliquer à la résolution des équations différentielles ordinaires.
Hormis quelques techniques très pointues attachées à des problèmes d’espèce et qui sortent
du cadre de cet enseignement, on peut dire que, grosso,modo, les méthodes utilisées ont toutes
en dénominateur commun la réalisation d’un maillage se superposant au domaine D sur lequel
on désire effectuer l’intégration numérique. C’est aux nœuds de ce maillage que l’on calcule les
valeurs de la fonction faisant l’objet de l’équation aux dérivées partielles. On voit bien qu’il
s’agit de la généralisation de la notion de pas, celui-ci pouvant être constant ou variable selon
les besoins.
Le premier problème qui se pose concerne les domaines ayant un point à l’infini, tandis que
le second concerne les techniques à pas variables. Il ne faut voir là que des problèmes liés à
la géométrie du domaine ainsi qu’à la nature de l’équation aux dérivées partielles. Ce sont les
raisons qui expliquent qu’il existe deux types de méthodes numériques pour intégrer les équations
aux dérivées partielles :
a. les méthodes aux différences finies,
b. les méthodes aux éléments finis.
Fondamentalement, ce sont les mêmes techniques qui utilisent les mêmes approximations
des opérateurs différentiels, et ce qui les différencie repose sur la technique de maillage du
domaine considéré. Les méthodes aux différences finies exploitent un maillage à pas constants
(quel que soit le type de coordonnées utilisées) et proposent deux types de résolution : l’une
est explicite, c’est-à-dire que les inconnues aux nœuds du maillage sont données explicitement
par les équations, l’autre est implicite, alors les inconnues constituent un système linéaire qu’il
convient d’inverser. Dans ce dernier cas, on a affaire à une matrice «creuse », c’est-à-dire ne
comportant que des zéros hormis la diagonale et son voisinage, il existe alors des méthodes
d’inversion spécifiques de ce type de matrices (cJ le chapitre 5 consacré au calcul matriciel).
Les méthodes aux éléments finis proposent un maillage adapté au type de problème considéré :
là où la fonction inconnue varie beaucoup, le maillage est serré, là où la fonction inconnue varie
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