MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
8.2. Le problème aux limites
On peut rechercher une solution y = $( z e z = $(z) telle que, par exemple, elle admette
) t
YO = 4(x0) et y1 = $(a) ou encore yo = $(~a) et ~1 = +(zr), avec dans les deux cas ~0 # 21.
Il n’y a plus de théorème d’unicité analogue à celui de Cauchy-Lipschitz. Le problème est plus
délicat, et pour s’en convaincre, il suffit de considérer l’équation du pendule. On se donne ~0 et
ya à ta. Il est bien clair que l’on ne peut pas imposer une seconde condition n’importe comment :
elle doit être compatible avec les liaisons du système étudié. Lorsque ce problème de conditions
aux limites se présente, on peut l’aborder de la façon suivante :
On fixe une condition, par exemple yo = $(x0) et l’on choisit arbitrairement l’autre condition
à la même limite pour ~0, soit ~0. La technique consiste à ajuster zo de telle sorte qu’à la limite
~1 la seconde condition imposée soit remplie. L’ajustement de zo s’effectue par tâtonnements en
essayant de trouver deux valeurs Z, et zb (qui encadrent la valeur cherchée 20) à partir desquelles
on recherche za par dichotomie, d’où son nom : la méthode de tir.
9. Équations différentielles d’ordre supérieur à deux
Ce qui a été dit pour le deuxième ordre peut être généralisé sans grande difficulté pour les ordres
supérieurs et les algorithmes se transposent de la même manière que celle qui a été présentée
pour le deuxième ordre.
10. Éléments de bibliographie
M. AINSWORTH (1995) Theory and numerics of or-dinar-y and partial equutions, Clarendon Press.
M. BACH (1998) Anulysis, numerics und applications of differentiul und integrul equations,
Longman.
J. BARANGER (1991) Analyse numérique, Éditions Hermann.
M. CROUZEIX et A.L. MIGNOT (1984) Analyse numérique des équations différentielles, Éditions
Masson.
J.P. DEMAILLY (1991) Analyse numérique et équations différentielles, Presses Universitaires de
Grenoble.
J. FAVARD (1962) Cours d’Analyse de l’École Polytechnique, Tome III : Théorie des équations,
fascicule 1 : Équations différentielles, Éditions Gauthier-Villars.
P. HENRICI (1964) Elements of Numericul Anulysis, Wiley.
F. HILDEBRAND (1956) Introduction to the numericul
unalysis, Mc Graw-Hill.
D. Mc CRACKEN et W. DORN (1964) Numericul Methods and Fortran Programming, Wiley.
H. MINEUR (1966) Techniques de Calcul Numérique, Éditions Dunod.
A. RALSTON et H.S. WILF (1965) Méthodes mathématiques pour calculateurs arithmétiques,
Dunod.
0p.J. PRINCE et J.R. DORMAND (1981) High order embedded Runge-Kutta formula+ Journal
of Computation und Applied Mathematics, volume 7, no 1.
214
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
8.2. Le problème aux limites
On peut rechercher une solution y = $( z e z = $(z) telle que, par exemple, elle admette
) t
YO = 4(x0) et y1 = $(a) ou encore yo = $(~a) et ~1 = +(zr), avec dans les deux cas ~0 # 21.
Il n’y a plus de théorème d’unicité analogue à celui de Cauchy-Lipschitz. Le problème est plus
délicat, et pour s’en convaincre, il suffit de considérer l’équation du pendule. On se donne ~0 et
ya à ta. Il est bien clair que l’on ne peut pas imposer une seconde condition n’importe comment :
elle doit être compatible avec les liaisons du système étudié. Lorsque ce problème de conditions
aux limites se présente, on peut l’aborder de la façon suivante :
On fixe une condition, par exemple yo = $(x0) et l’on choisit arbitrairement l’autre condition
à la même limite pour ~0, soit ~0. La technique consiste à ajuster zo de telle sorte qu’à la limite
~1 la seconde condition imposée soit remplie. L’ajustement de zo s’effectue par tâtonnements en
essayant de trouver deux valeurs Z, et zb (qui encadrent la valeur cherchée 20) à partir desquelles
on recherche za par dichotomie, d’où son nom : la méthode de tir.
9. Équations différentielles d’ordre supérieur à deux
Ce qui a été dit pour le deuxième ordre peut être généralisé sans grande difficulté pour les ordres
supérieurs et les algorithmes se transposent de la même manière que celle qui a été présentée
pour le deuxième ordre.
10. Éléments de bibliographie
M. AINSWORTH (1995) Theory and numerics of or-dinar-y and partial equutions, Clarendon Press.
M. BACH (1998) Anulysis, numerics und applications of differentiul und integrul equations,
Longman.
J. BARANGER (1991) Analyse numérique, Éditions Hermann.
M. CROUZEIX et A.L. MIGNOT (1984) Analyse numérique des équations différentielles, Éditions
Masson.
J.P. DEMAILLY (1991) Analyse numérique et équations différentielles, Presses Universitaires de
Grenoble.
J. FAVARD (1962) Cours d’Analyse de l’École Polytechnique, Tome III : Théorie des équations,
fascicule 1 : Équations différentielles, Éditions Gauthier-Villars.
P. HENRICI (1964) Elements of Numericul Anulysis, Wiley.
F. HILDEBRAND (1956) Introduction to the numericul
unalysis, Mc Graw-Hill.
D. Mc CRACKEN et W. DORN (1964) Numericul Methods and Fortran Programming, Wiley.
H. MINEUR (1966) Techniques de Calcul Numérique, Éditions Dunod.
A. RALSTON et H.S. WILF (1965) Méthodes mathématiques pour calculateurs arithmétiques,
Dunod.
0p.J. PRINCE et J.R. DORMAND (1981) High order embedded Runge-Kutta formula+ Journal
of Computation und Applied Mathematics, volume 7, no 1.
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