MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
8. Les équations différentielles du deuxième ordre
L’étude des équations différentielles du deuxième ordre relève de l’étude des systèmes d’équations
différentielles du premier ordre, et elles en constituent un cas particulier. En effet, écrivons
l’équation résolue par rapport à la dérivée seconde qui soit la plus générale possible dans ces
conditions :
d2y
~ = L?(X> Y> Y’)
dx2
il est alors possible, comme nous l’avons vu précédemment d’écrire :
dy
-=z
dz
dz
-=
dz
dz, Y, z).
Il ne coûte rien d’étudier le système général suivant :
2 = f(X,YJ)
dz
- = S(T Y, 2).
dz
8.1. Cas du problème de Cauchy
En xc, on connaît les valeurs yo et ~0, alors le théorème de Cauchy-Lipschitz se généralise de la
manière suivante :
Si les fonctions f(x, y,Z) et g(x, y, )
z sont continues dans le parallélépipède xc 5 x < x0 + a,
JY - y01 5 b et 12 - ~01 5 c, et si les fonctions sont lipschitziennes c’est-à-dire que :
I~(~,Y,~)-~(x,Y~,~~)/ is(xç, Y> 2) - dz, yl,a)l < A Iy - y11 + B Iz - 211,
alors le système différentiel du premier ordre (ou l’équation différentielle du deuxième ordre)
admet une solution unique y = 4( x e z = g(x) laquelle prend pour x = x0 les valeurs
) t
$(x0) = YO et +(x0) = ~0 et qui est définie pour x0 < x 2 xc + h, h étant le plus petit des trois
nombres a, b/M et C/M où M étant la borne supérieure de if\ et / g / dans le parallélépipède
considéré.
a - Méthode de Picard - Nous formons la suite de fonctions de la manière suivante :
Yl(X)
=
YO + .? f(t,~o,zo) dt
x0
Zl(X)
=
zo + 7 g(t, yo, 20) dt
x0
210