MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Lorsqu’on rencontre un problème raide, ces difficultés peuvent être éventuellement contournées
en utilisant des méthodes adaptées, et il convient de tester les méthodes de Runge et Kutta
implicites ou la méthode des différentiations rétrogrades. Nous présentons maintenant cette
dernière méthode.
L’idée consiste à interpoler la suite des yn par le polynôme de Lagrange II,,(z) de degré
v (n > v+ 1). L e polynôme sert alors à trouver une approximation de yn+r pour la valeur
2 = X,+1, ainsi nous écrivons :
JLn(Xn+l-k) = Yn+l-k
avec k = O,l,. . ,v.
Pour obtenir la valeur de y,+r, on écrit que :
Nous allons expliciter le polynôme de Lagrange dans le cas particulier utile où le pas est
constant et vaut h :
II,,(x) = 2 Cl n+l -j fi x - xTL+1-k .
j=o
k=o~7x+1-j -%+1-k
k#.?
On désigne alors par n,,(u) la nouvelle expression qui prend la forme suivante :
‘irm(u) = -gYn+l-j g s
X
en posant : u =
n+l - II:
j=o
h
’
k#.i
On obtient alors :
d,(O) = -hf (X~+I, ~n+l) >
et n,,(G) = yn+l-k
avec k=O,l,...,v
où %+1 - x,+1 - k
h
.
Nous allons dériver T vn(~) par rapport à U, après avoir donné son expression en fonction de :
Qvn(u) = fi (l- ;>
m=l
ainsi que de sa dérivée C&(U). Développons T~,(U) de la manière suivante :
nvn(u) = Yn+l fi + + 2 Yn+l-j kfJ y$ .
k=l
j=l
k#j
On note que, puisque j # 0 :
et que
q:&L) = -qv?%(u) . -g- llrn
mzl (1- Z)’
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