13. INTÉGRATION DE~ É~~UATION~
DIFFÉRENTIELLES DANS LE CHAMP RÉEL
6.4. Méthode de Adams-Moulton (1872-1952)
Au fond, il s’agit d’une variante de la méthode qui vient d’être exposée. La différence provient du
fait que le polynôme d’interpolation passe par fn+i = f (x,+1, gn+i) valeur qui ne sera connue
que lorsque la valeur de y,+1 sera connue. On comprend alors que la nouvelle technique soit une
méthode implicite car il nous faudra résoudre une équation implicite pour obtenir la valeur de
y,+~. Le gain de la méthode repose sur le fait que le polynôme d’interpolation gagne un degré.
Nous posons donc :
Q v+~,n(xn-j) = f [z,-j,y(xn-j)]
avec j = O,l, . . u,
~1~s Qv+l,nbn+d = P[G+~,Y(G+I)] = fn+l,
cette dernière valeur est inconnue.
Le polynôme de Lagrange qui interpole dans le ne intervalle est alors de degré (V + 1). Il prend
la forme :
soit encore :
Q V+l,&) = i: fn-jL+l,n+l,j+lC4.
j=-1
Comme précédemment, posons :
La technique de résolution consiste à séparer ce qui est connu de ce qui doit être calculé par
résolution d’une équation implicite :
yn+l - hJL,-d(rç,+l, yn+l) = yn + c h,D,,jfn-j
avec n > u.
j=o
(Le membre de droite est une constante calculable directement, et il reste à résoudre l’équation
implicite figurant dans le premier membre égale à ladite constante.)
6.5. Cas où les xj sont en progression arithmétique
L’expression du polynôme de Newton devient :
Q v+l,&) = fn+l + ;A’&+1 + uiuz; ‘)A2fnll + . . + u(” ‘(2, ;)” + n)A”+lfn+l
u+k-1
zPG+l
k
A"fTLt1
avec u=
h
’
Ici encore, nous pouvons nous dispenser du calcul effectif des différences successives, seules
les valeurs fk pourk = n + 1,. . . , n - v devront être connues.
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