13. I NTÉ GRATION DES ÉQU.~TIONS
DIFFÉ RENTIELLE~
DANS
LE
CHAMP R É EL
avec
Il y a moyen de calculer directement les rj ainsi que les bvj qui en découlent, si bien qu’il n’est
plus utile de calculer les différences successives des fn. Les expressions à exploiter s’écrivent :
yn+l = yn + h k b,jfn-j
avec n 2 u,
j=o
et fn+l = ~(G+I,Y~+I).
6.3. Calcul des coefficients rj et bvj
Nous allons montrer que les yk sont les coefficients du développement en série entière de la
fonction :
1
S(x) =
J
(1 -x)-” dcr = -&i,z”.
0
k=O
En effet, la dérivation successive sous le signe somme, puis l’égalisation à zéro de 2 conduit
au développement en série de MacLaurin de S(z), et l’on trouve que :
%= j(‘“+;-‘) du.
0
D’un autre côté, l’intégrale est directement calculable :
1
1
S(z) = (1 -X)-O da! = exp[-alog,(l -z)] da =
J
J
-’
log,(l - x)
0
0
Nous pouvons donc écrire :
S(x) log,(l - x)G = -1.
Le développement en série entière de cette expression donne :
=
-1.
L’identification des termes de même puissance en x conduit aux relations :
m-l
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