MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Remarque 1 : Il faut une plate-forme de démarrage pour appliquer l’algorithme d’AdamsBashforth, elle peut être obtenue par une méthode à un seul pas telle que celles que nous
avons présentées précédemment.
Remarque 2 : Rien n’interdit de modifier le nombre de pas au cours des calculs.
Remarque 3 : La taille des pas hj n’est commandée que par des considérations sur la précision
et la stabilité.
Remarque 4 : Comme la méthode existe pour v = 0 (il s’agit de la méthode d’Euler), il suffit
de concevoir un programme qui fonctionne avec un pas variable de 0 à V, ainsi l’algorithme
devient « auto-démarrant ».
6.2. Cas où les xj sont en progression arithmétique
On désigne alors simplement par h le pas, et l’on remarque que le polynôme d’interpolation de
Lagrange est également le polynôme ascendant de Newton (cf. chapitre 6) ; ainsi L,,j(z) prend
une forme plus simple que l’on désigne par ZVj(z) car, comme on va le voir, cette expression ne
dépend pas de n :
k#.?
de même B,,j ne dépend plus de n et l’on désigne par b,, cette nouvelle expression qui s’écrit :
buj =
J
’ Zvj(u) du = j fi u-le du.
0
o k =O I c -j
k#j
Par ailleurs, nous avons vu que le polynôme de Newton ascendant (cf. chapitre 6) pouvait
s’écrire, en posant u =
x - 2,
-, sous la forme :
h
Pl m(u) = fn + UAff, + y 1) pj-, + . . +
u(u + 1) . . . (u + V - 1) ayf
U!
n
qui s’exprime avec la notation plus concise :
(“‘:-y=
u(u + 1). ‘. (u + j - 1)
$
,
de la manière suivante :
Pvn(u) = 2 aq
j=. n(“+;-‘).
De là, on obtient :