13. INTÉGRATION DE~ ÉQu.~TIONS
DIFFÉRENTIELLE~ DANS LE CHAMP RÉEL
On suppose que l’on connaît les n premières valeurs qui ont pu être obtenues au moyen d’une
méthode de Runge et Kutta par exemple. On se propose de calculer la valeur de yn+r au point
x,+1 au moyen de la relation :
“n+l
Ynfl = Yn +
s
fh ~(~11 dz,
expression dans laquelle nous allons approcher la fonction f[z, y(z)] au moyen du polynôme
d’interpolation de Lagrange de degré u, ce qui signifie que la détermination de ce polynôme
nécessite la connaissance de v + 1 valeurs calculées précédemment.
6.1. Méthode de Adams-Bashforth
On désigne par Pyn(x) le polynôme de Lagrange de degré v qui interpole la fonction f[z, y(z)]
dans l’intervalle (z,, ~ç,+r). On adopte la notation :
Pvn(xn-j) = f[x,-j, y(x,-j)] = fn-j
avec j = 0, 1,. . V.
La valeur approchée de yn+r est donnée par l’expression :
“n+l
Yn+1 = y72 + s
f’vn(x) dz,
on en déduit la valeur de fn+r :
fn+l=f(&X+l> Yn+l)
Explicitons le polynôme de Lagrange :
On peut poser
puis :
En définitive, la méthode d’Adams-Bashforth a (ZI + 1) pas s’écrit :
Y~+I = yn + 2 h&L,jfn-j
avec n>u,
j=o
et
f n+l = f (%+1, YYn+1 1
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