MANUEL DE CALCUL NUMÉ RIQUE APPLIQUÉ
5.2. Les méthodes en quatre points
Il existe plusieurs variantes de la méthode, en voici deux :
1. On calcule les valeurs suivantes :
Ul = h.f (20 + h/3, YO + Uo/3),
Uz = hf (20 + W3, yo - Uo/3 + Ul) ,
u3 = V(~O +~,Yo + Uo - Ul + U2),
et y(x0 + h) = Y(Q) + z + F + y + ? .
2. On peut aussi calculer cette autre suite :
uo = hf (XO,YO) ,
ul = hf (20 + W’, YO + UoP) ,
U2 = kf(~o+W,yo+R/2),
U3 = hf (20 + h, YO + U2) ,
et y(~0 + h) = y(zo) + z + : + ? + ? .
Il faut savoir que les coefficients numériques sont calculés par identification de la formule
présentée et du développement en série de Taylor le plus élevé possible.
5.3. Les méthodes en seize points (ordre 8)
Il faut résoudre un système de 285 équations pour satisfaire les conditions d’identification et
en 1981, P.J. Prince et J.R. Dormand ont réalisé ces calculs et ont produit les coefficients
numériques jusqu’à 16 points.
Souvent nous utilisons leurs résultats pour intégrer les équations différentielles, et ceci de la
façon suivante : on intègre avec la méthode d’ordre 7 et l’on estime l’erreur à l’aide de la méthode
d’ordre 8 qui sert de référence. Ceci permet de calculer aussi le pas d’intégration adapté au type
de l’équation différentielle que l’on traite.
On retrouve ce type d’intégration dans quelques programmes fournis avec les corrections de
problèmes (cf. annexes H et 1).
6. Les méthodes d’Adams (1819-1892)
On se propose de calculer la valeur de la solution yj pour la valeur correspondante de l’abscisse
xj. Les abscisses ne sont pas nécessairement en progression arithmétique et l’on les note
simplement dans l’ordre croissant (20 < ~1 < x2 < . . . < x, . . . < x,} = T, T étant l’intervalle
sur lequel on désire effectuer les calculs et sur lequel la fonction f [x, y(z)] a les bonnes propriétés
énoncées dans le théorème de Cauchy-Lipschitz. On note h, = x,+1 - x,.
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