13. INTÉGRATION ms ÉQUATION~ DIFFÉRENTIELLE~ mNs LE cH.hw RÉEL
5. Méthodes de Runge (1856-1927) et Kutta (1867-1944)
5.1. La méthode en trois points
Nous allons présenter cette technique de façon géométrique, puis nous verrons ce qu’elle signifie
analytiquement et nous proposerons une généralisation à plusieurs points.
À partir du point A(zo, yo), nous calculons au moyen de la méthode d’Euler les coordonnées
du point B [Q + h/2, y(~ + h/2)], soit :
= YO + Wzo, T~O)P.
On détermine le point C [XO + h, y(~ + h)] en effectuant une interpolation parabolique, c’est-àdire en supposant que les trois points A, B et C sont sur une parabole. Pour cela on utilise une
propriété géométrique de la parabole selon laquelle la tangente en B à la parabole est parallèle
à la sécante AC. On peut alors écrire :
y 1 = y(zo + h) = YO + h.f [ zo + h/2, YO + hf(zo, yo)/
L’ordonnée de C n’est pas la valeur définitive que nous allons conserver comme approximation
de l’intégration en zo + h. La formule des trois niveaux permet de trouver une meilleure
approximation de C en écrivant :
so+h
zo+h
/ dy= j- f[z, Y(Z)] dz = y1 - yo = ; [f(A) + 4f(B) + f(C)]
“0
“0
expression dans laquelle f(A) signifie f(ze, y~)
f(B) signifie f 1x0 + WA yo + V(a, go)/21
f(C) signifie f (50 + h, yo + hf (20 + W, 1Jo + hf(zo, yo)/2))
La technique de calcul consiste à écrire :
UO
= f(zo, Yo),
Ul = f (50 + W’, YO + hUo/2) >
Uz = f(zo+h,yo+hUl),
puis y1
= yo + ; [Uo + 4Ul + U2].
Ensuite, à partir de ~1, on calcule y2 et ainsi de suite jusqu’à atteindre la borne b souhaitée.
On trouvera sur le Web (*) 1 e programme runge . c qui réalise cette procédure.
Cette procédure montre que l’on itère trois fois la fonction f(z, y). Nous pouvons retrouver
ce même résultat par voie analytique. Cette façon de procéder est généralisable ce qui permet
d’augmenter la précision des résultats. Sans s’attarder sur les développements, nous donnons les
résultats du calcul en quatre points.