MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Remarque 1 : Cette belle méthode itérative présente l’inconvénient d’être lentement convergente.
Remarque 2 : Comme la méthode est absolument et uniformément convergente il n’est pas utile
de conserver la fonction yn(x) intégralement avant de procéder au calcul de la fonction suivante
yn+i(x). Il suffit donc d’écraser les valeurs au fur et à mesure des calculs. Non seulement cette
remarque simplifie grandement la programmation mais encore elle accélère la convergence du
procédé.
Précision de la méthode
La suite de fonctions étant absolument et uniformément convergente, sur le plan strictement
mathématique, il suffira d’effectuer les calculs à un ordre suffisamment élevé pour obtenir la
précision souhaitée à l’avance. Par suite, on est en droit de penser que c’est la technique
numérique retenue pour calculer les intégrales qui limite la précision des résultats (elle est
fonction du pas h). Les problèmes sont malheureusement plus compliqués que cela.
On trouvera sur le Web (*) 1 e programme picard. c qui réalise cette procédure.
4. Méthode de la série de Taylor
Nous allons développer la fonction y(xk+i) au voisinage de y(xk) en série de Taylor en utilisant
les notations yk et yk+l :
Yk+l = Yk +
h
h2
h3
y y; + gY; + SYk’ + . .
yi est donné par l’équation différentielle et vaut simplement f(xk, yk), ensuite, par dérivation,
on obtient :
= dxk, Yk),
et
On peut aller aussi loin que ce que l’on désire.
La technique de calcul est simple : à partir de x0 et yo on calculera y1 au point xi, puis y2 au
point x2 et ainsi de suite jusqu’à x, = b.
Lorsque l’on arrête le développement en série de Taylor au premier ordre, la méthode s’appelle
méthode d’Euler.
On trouvera sur le Web (*) 1 e programme taylor . c qui met en œuvre cette technique.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Remarque 1 : Cette belle méthode itérative présente l’inconvénient d’être lentement convergente.
Remarque 2 : Comme la méthode est absolument et uniformément convergente il n’est pas utile
de conserver la fonction yn(x) intégralement avant de procéder au calcul de la fonction suivante
yn+i(x). Il suffit donc d’écraser les valeurs au fur et à mesure des calculs. Non seulement cette
remarque simplifie grandement la programmation mais encore elle accélère la convergence du
procédé.
Précision de la méthode
La suite de fonctions étant absolument et uniformément convergente, sur le plan strictement
mathématique, il suffira d’effectuer les calculs à un ordre suffisamment élevé pour obtenir la
précision souhaitée à l’avance. Par suite, on est en droit de penser que c’est la technique
numérique retenue pour calculer les intégrales qui limite la précision des résultats (elle est
fonction du pas h). Les problèmes sont malheureusement plus compliqués que cela.
On trouvera sur le Web (*) 1 e programme picard. c qui réalise cette procédure.
4. Méthode de la série de Taylor
Nous allons développer la fonction y(xk+i) au voisinage de y(xk) en série de Taylor en utilisant
les notations yk et yk+l :
Yk+l = Yk +
h
h2
h3
y y; + gY; + SYk’ + . .
yi est donné par l’équation différentielle et vaut simplement f(xk, yk), ensuite, par dérivation,
on obtient :
= dxk, Yk),
et
On peut aller aussi loin que ce que l’on désire.
La technique de calcul est simple : à partir de x0 et yo on calculera y1 au point xi, puis y2 au
point x2 et ainsi de suite jusqu’à x, = b.
Lorsque l’on arrête le développement en série de Taylor au premier ordre, la méthode s’appelle
méthode d’Euler.
On trouvera sur le Web (*) 1 e programme taylor . c qui met en œuvre cette technique.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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