13. INTÉGRATION ms ÉCXJ.~TI~N~ DIFFÉRE~TIELLJB DANS LE CHAMP RÉEL
Remarque : Si f (x, y) es m me en un point particulier, il faut examiner s’il s’agit d’un pôle
t ’ fi .
1
simple ou d’un point singulier essentiel. Dans le premier cas, si la fonction ~
f (2, Y)
est régulière,
elle conserve les bonnes propriétés puisque l’on pourra intégrer x en fonction de y.
On trouvera dans l’ouvrage de G. Valiron cité en bibliographie une démonstration de ces
théorèmes au moyen de la méthode itérative de Picard (1890). Comme elle constitue aussi une
méthode numérique simple à mettre en œuvre, nous allons nous intéresser à cet aspect.
3. La méthode de Picard (1858-1941)
La technique est intéressante dans la mesure où elle substitue une équation intégrale à une
équation différentielle, soit :
Y(X)
z
J
dz = y(z) - y0 =
J
fh y(t)1 dt.
Y0
x0
Nous allons former une suite de fonctions de la manière suivante :
z
Y~(X) = YO + s
f(4 yo) dt,
x0
z
Y~(X) = yo +
J
f[t, yl(t)] dt,
x0
. . . . . . . . .
Y~(X) = YO +
J
f[t, s-l(t)] dt,
x0
. . . . . . . . .
On montre alors que la limite de y,(~) quand n tend vers l’infini est la solution unique de
l’équation différentielle dans le cadre des hypothèses énoncées dans les théorèmes d’Arzelà et de
Cauchy-Lipschitz. De plus, il convient de signaler que la série de terme général yy, - Y~-~(X)
est absolument et uniformément convergente pour x appartenant à l’intervalle (x0, 20 + h).
La conduite du calcul est fort simple :
a. On découpe l’intervalle d’intégration (a, b), dans lequel la fonction f(z, y) a les bonnes
propriétés, en n sous-intervalles égaux définis par les points xk en progression arithmétique :
b-a
h=-et
xk = a + kh.
n
b. NOUS calculons la fonction Y~(Z) = yo + 7 f(t, yo) dt, c’est-à-dire l’ensemble des échantillons
de Y~(X) aux points xk.
c. Ensuite, on calcule Y~(X) à partir de Y~(X) et ainsi de suite.
d. On arrête les calculs lorsque les valeurs de y,(b) et yn+r (b) sont égales à la précision que l’on
s’est fixé à l’avance.
197