MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Celui-ci se ramène à l’étude d’un système différentiel de n équations du premier ordre, en
posant successivement :
dy
-=u
dt
’
du
-x2,
dt
’
. . . . .
dw
-=z
dt
’
dz
ce qui donne (n - 1) équations lesquelles jointes à - = f(y, u, U, . , 2) constituent un système
de n équations différentielles du premier ordre.
dt
Dans un premier temps nous étudierons les techniques usuelles de résolution des équations
différentielles du premier ordre dans le cadre du problème de Cauchy, puis nous procéderons
aux généralisations qui permettront l’intégration des équations différentielles dont l’ordre est
supérieur à un.
Enfin, nous donnerons quelques indications à propos du problème aux limites qui ne concerne,
cela va de soi, que les équations d’ordre supérieur à un.
1. Les équations différentielles du premier ordre
C’est donc le problème de Cauchy qui seul nous concerne ici. Sous la forme explicite, nous aurons
à intégrer l’équation générale suivante :
avec la condition que la solution doit prendre la valeur yo pour la valeur ~0 de la variable.
2. Les théorèmes d’Arzelà (1847-1912)
et de Cauchy-Lipschitz (1832-1903)
Il convient de s’assurer de l’existence d’une solution et la réponse est apportée par le théorème
d’Arzelà que l’on admettra sans démonstration i
Sous la seule’condition que f(~, y) soit continue dans le rectangle ~0 5 2 < ~~+a, Iy - yo1 5 b,
alors l’équation différentielle admet au moins une solution $(x) qui prend pour z = x0 la valeur
yo et qui est définie pour ~0 5 z 5 20 + h, h étant le plus petit des deux nombres a et b/M où
M = su~lf(~~)l d ans le rectangle considéré. Rien n’est changé si l’on remplace la condition
320 < Ic 5 320 +a par 20 -a < z 5 20.
À présent, c’est l’unicité de la solution qui va retenir notre attention, elle est assurée par le
théorème de Cauchy-Lipschitz :
Si de plus la fonction f(lç, y) est lipschitzienne (cela signifie qu’il n’y a pas de tangente
verticale), soit :
I.f(x,~l) - f(z, yz)I < A I yy1 ~ yzI avec A fini,
alors la solution 4(z) qui prend la valeur yo pour la valeur ~0 de la variable est unique. En outre,
dans le domaine précédemment défini, 4(x) est continue.
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DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Celui-ci se ramène à l’étude d’un système différentiel de n équations du premier ordre, en
posant successivement :
dy
-=u
dt
’
du
-x2,
dt
’
. . . . .
dw
-=z
dt
’
dz
ce qui donne (n - 1) équations lesquelles jointes à - = f(y, u, U, . , 2) constituent un système
de n équations différentielles du premier ordre.
dt
Dans un premier temps nous étudierons les techniques usuelles de résolution des équations
différentielles du premier ordre dans le cadre du problème de Cauchy, puis nous procéderons
aux généralisations qui permettront l’intégration des équations différentielles dont l’ordre est
supérieur à un.
Enfin, nous donnerons quelques indications à propos du problème aux limites qui ne concerne,
cela va de soi, que les équations d’ordre supérieur à un.
1. Les équations différentielles du premier ordre
C’est donc le problème de Cauchy qui seul nous concerne ici. Sous la forme explicite, nous aurons
à intégrer l’équation générale suivante :
avec la condition que la solution doit prendre la valeur yo pour la valeur ~0 de la variable.
2. Les théorèmes d’Arzelà (1847-1912)
et de Cauchy-Lipschitz (1832-1903)
Il convient de s’assurer de l’existence d’une solution et la réponse est apportée par le théorème
d’Arzelà que l’on admettra sans démonstration i
Sous la seule’condition que f(~, y) soit continue dans le rectangle ~0 5 2 < ~~+a, Iy - yo1 5 b,
alors l’équation différentielle admet au moins une solution $(x) qui prend pour z = x0 la valeur
yo et qui est définie pour ~0 5 z 5 20 + h, h étant le plus petit des deux nombres a et b/M où
M = su~lf(~~)l d ans le rectangle considéré. Rien n’est changé si l’on remplace la condition
320 < Ic 5 320 +a par 20 -a < z 5 20.
À présent, c’est l’unicité de la solution qui va retenir notre attention, elle est assurée par le
théorème de Cauchy-Lipschitz :
Si de plus la fonction f(lç, y) est lipschitzienne (cela signifie qu’il n’y a pas de tangente
verticale), soit :
I.f(x,~l) - f(z, yz)I < A I yy1 ~ yzI avec A fini,
alors la solution 4(z) qui prend la valeur yo pour la valeur ~0 de la variable est unique. En outre,
dans le domaine précédemment défini, 4(x) est continue.
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