1 dans le champ réel
Ces types de problème relèvent du vaste cadre de l’analyse fonctionnelle. S’il est rare de trouver
une primitive à une fonction donnée, il est encore plus rare de pouvoir exhiber une fonction f
qui soit solution d’une équation différentielle donnée. Pour s’en convaincre, il suffit de considérer
une des toutes premières équations différentielles rencontrées dans la physique : l’équation du
pendule simple dans le plan. Désignons par 8 l’angle que fait le pendule avec la verticale et
écrivons l’équation différentielle à laquelle obéit Q au cours du temps t :
d’B(t)
dt2 + w2 Sin[e(t)] = 0.
Cette équation différentielle ne possède pas de solution formelle connue c’est-à-dire de solution
exprimable au moyen des transcendances usuelles. D’autant plus que la nature des conditions
aux limites peut singulièrement compliquer le problème à savoir :
a. Conditions de Cauchy (178991857). On connaît à l’instant t = to la valeur de la fonction
inconnue et de toutes les dérivées jusqu’à l’ordre le plus élevé figurant dans l’équation.
b. Conditions aux limites (ou de tir). On connaît les valeurs de la fonction inconnue à des
instants différents.
Ici nous avons choisi le temps comme variable puisque l’exemple retenu est le pendule simple,
mais rien n’est changé en faisant usage d’autres variables.
Ici, nous ne cherchons pas à résoudre le problème différentiel dans le cas le plus général
implicite que l’on écrit :
mais nous nous contenterons d’étudier le cas explicite suivant :
g=f(g )...) $,y).
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