12. LES POLYNÔMES DE BERNOULLI, FORMULE D'EULER-MACLAURIN
où A&+i est le sup du module de ~C”+‘)(Z)
sur l’intervalle (a, b). Rappelons que le calcul de
M n+i est rarement simple. L’intégration du polynôme sous le signe somme est effectuée de la
même manière que celle de Hk.
Sur le Web(*), on trouvera le programme cotes-i. c qui réalise cette technique d’intégration
suivi d’un autre programme cotes-2. c qui calcule la quantité :
Il faut prendre quelques précautions pour calculer cette dernière intégrale. Si le principe que
nous venons d’utiliser pour calculer les Hk demeure, la valeur absolue pose un problème que l’on
surmonte de la façon suivante : comme la fonction à intégrer s’annule pour les entiers successifs,
dans chaque intervalle constitué par deux entiers successifs, la fonction est soit positive soit
négative (elle est alternativement négative puis positive etc.). Pour obtenir une majoration de
l’erreur, il suffit d’intégrer entre deux entiers consécutifs, de prendre la valeur absolue du résultat
et d’en effectuer la somme depuis zéro jusqu’à 12. Au préalable, on aura écrit le polynôme de
degré n + 1 sous la forme :
n+l
P,(u) = c a$%“,
j=o
à l’aide des relations de Newton. Les premières valeurs calculées sont données dans le
tableau 12.2.
Tableau 12.2.
n
Q(n)
3
0,823 10-l
4
0,968 lO-’
5
0,973 10-s
6
0,888 10-4
7
0,717 10-5
8
0,529 10-6
9
0,354 10-7
10
0,219 10-a
Il est intéressant de s’arrêter sur le calcul d’erreur concernant l’exemple de l’intégrale de
Gauss :
I= &]exp(-z) dz.
0
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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