MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
3.1. Méthode de Newton-Cotes (1682-1716)
Soit une fonction f(z) continue sur (-1, +l) laquelle possède des dérivées continues sur le
même intervalle jusqu’à l’ordre (n + 1) au moins. On connaît un échantillon de la fonction f(z)
constitué de (n+ 1) points yk = f(xk) correspondant à des abscisses en progression arithmétique
xl,=-1+%
On se propose de calculer l’intégrale 1 = Y~(X) d x au moyen d’une approximation J qui
-1
consiste à remplacer f(x) par le polynôme de Lagrange donné par la formule de Lagrange, soit :
n
+1 rp-x3)
J = &k)/ ‘;”
dz = 2 f(xk)&.
k=O
-l n(xk - xj)
k=O
j#k
Le calcul des Hk s’effectue au moyen du changement de variable xk = - 1+ %, ce qui donne :
Hk = ( - 1) “- k2 “u( u - 1 )
nk!(n ~ k)! s
. . . (u - k + l)(u - k - 1). . . (u - n) du,
0
Hk = (-1)“-k2 nP&h) du.
nk!(n - k)! s
0
Nous allons transformer Pk(u) en l’écrivant sous la forme suivante :
l’exposant (k) rappelant qu’il s’agit des coefficients du ke polynôme. Cette expression peut faire
l’objet d’une intégration terme à terme à condition de connaître les ay). Cela est aisé à l’aide des
relations de Newton puisque l’on connaît les racines de Pk(u) lesquelles sont les entiers positifs
successifs à l’exception de k. On calcule au préalable les S” qui sont les sommes des racines à
la puissance m.
L’intégration de Pk(u) entre 0 et n est immédiate. si l’intervalle d’intégration est (a,b), le
changement de variable permet d’obtenir :
+1
s
f(x) dz = 7 2 Hkf(a + kh)
avec h = e .
-1
k=O
L’expression de l’erreur E = 11 - JI est estimée à partir de l’expression de l’erreur commise
en remplaçant f(x) par le polynôme de Lagrange PL(X), soit :
+1
E=
s
{f(x) -PL(X)) dx >
-1
y%+2
E = (;y+;)! Rn+2
nn
sn
(u - j) du
o j=o
190