12. LES POLYNÔMES DE BERNOULLI, FORMULE D'EULER-MAC%AURIN
Estimation de l’erreur mathématique - En adoptant le procédé exploite pour les méthodes
précédentes, nous écrivons la nouvelle valeur de E, :
G = si ~ s: =F(%+a)- F(zzi)- ; [f(zai)+4f(z2i+1)+
f(xai+a)],
= F(X2i + 2h) ~ F(Z22) - ; [f(X2i + 2h)+ f(zzi)+ 4f(xz+r)].
Effectuons un développement limité de F(xzi + h), f(zai + 2h) et de f(x2% + h) respectivement
à l’ordre cinq pour le premier et quatre pour les deux autres; on obtient :
EL = 2hf(zi) + 2h2f’(4 + $f”(z) + ~~“(CC) + $&) - ; (f(x) + 2hf’(zi)
+ 2h2f”(2i) + +(Xi) + ~/qo)) - ; (f(x;) + 4f(G) + 4hf’(Xi) + 2Pf”(L7Ji)
où [i, (p,i et Oi sont deux nombres compris entre x2i et x2%+2. À partir de là, on obtient une
estimation de Ei :
E, = ;f’“(pi)
où pi est un nombre compris entre zi et X~+I. Il s’ensuit l’expression de E :
E = $ ” flv(pi).
i=o
Il est aisé d’obtenir une forme plus simple en majorant la valeur de la dérivée sur l’intervalle
(a, b), on obtient le résultat suivant :
E = zNM4 = BM4,
(il y a 2N points),
où Md est le sup de la valeur absolue de la dérivée d’ordre quatre sur l’intervalle (a, b).
Remarque : Autant il est aisé de tirer des conclusions quand au rôle joué par N dans chacune
des méthodes, autant il est impossible de savoir quoi que ce soit concernant les majorations des
dérivées d’ordre de plus en plus élevé. Les quelques exercices que l’on peut mener facilement
le montrent fort bien : dans bien des cas, la majoration d’une dérivée d’ordre m conduit
à des résultats décevants qui contrebalancent le gain obtenu par la puissance de N (grand
dénominateur).
Prenons un exemple simple :
10
I= /exp(-z") dz.
0
Les dérivations successives de exp( -x2) génèrent des polynômes qui ont une grosse parenté avec
les polynômes d’Hermite (cf la formule de Rodriguès générant les polynômes d’Hermite). Tous
calculs faits, on trouve les résultats suivants : Mr = 0,43, M2 = 0,893 et Md = 10,95, ainsi, sur
l’intervalle (0, lO), et l’on voit que
M4
- = 25,5.
Ml
189
Estimation de l’erreur mathématique - En adoptant le procédé exploite pour les méthodes
précédentes, nous écrivons la nouvelle valeur de E, :
G = si ~ s: =F(%+a)- F(zzi)- ; [f(zai)+4f(z2i+1)+
f(xai+a)],
= F(X2i + 2h) ~ F(Z22) - ; [f(X2i + 2h)+ f(zzi)+ 4f(xz+r)].
Effectuons un développement limité de F(xzi + h), f(zai + 2h) et de f(x2% + h) respectivement
à l’ordre cinq pour le premier et quatre pour les deux autres; on obtient :
EL = 2hf(zi) + 2h2f’(4 + $f”(z) + ~~“(CC) + $&) - ; (f(x) + 2hf’(zi)
+ 2h2f”(2i) + +(Xi) + ~/qo)) - ; (f(x;) + 4f(G) + 4hf’(Xi) + 2Pf”(L7Ji)
où [i, (p,i et Oi sont deux nombres compris entre x2i et x2%+2. À partir de là, on obtient une
estimation de Ei :
E, = ;f’“(pi)
où pi est un nombre compris entre zi et X~+I. Il s’ensuit l’expression de E :
E = $ ” flv(pi).
i=o
Il est aisé d’obtenir une forme plus simple en majorant la valeur de la dérivée sur l’intervalle
(a, b), on obtient le résultat suivant :
E = zNM4 = BM4,
(il y a 2N points),
où Md est le sup de la valeur absolue de la dérivée d’ordre quatre sur l’intervalle (a, b).
Remarque : Autant il est aisé de tirer des conclusions quand au rôle joué par N dans chacune
des méthodes, autant il est impossible de savoir quoi que ce soit concernant les majorations des
dérivées d’ordre de plus en plus élevé. Les quelques exercices que l’on peut mener facilement
le montrent fort bien : dans bien des cas, la majoration d’une dérivée d’ordre m conduit
à des résultats décevants qui contrebalancent le gain obtenu par la puissance de N (grand
dénominateur).
Prenons un exemple simple :
10
I= /exp(-z") dz.
0
Les dérivations successives de exp( -x2) génèrent des polynômes qui ont une grosse parenté avec
les polynômes d’Hermite (cf la formule de Rodriguès générant les polynômes d’Hermite). Tous
calculs faits, on trouve les résultats suivants : Mr = 0,43, M2 = 0,893 et Md = 10,95, ainsi, sur
l’intervalle (0, lO), et l’on voit que
M4
- = 25,5.
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