MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Estimation de l’erreur mathématique - Cette technique va nous permettre de gagner un ordre
de grandeur en précision par rapport à la méthode des rectangles. Écrivons la nouvelle valeur
de l’erreur que nous appelons Ei :
I-3, = si - s: = F(~i+l) - F(xi) - ; [f(xi+l) + f(xi)]
= F(Xi+tz) - F(G) - ; [f(Xi+fL) + f(G)]
Effectuons un développement limité de F(~i+h) et de f(~i+h) respectivement à l’ordre trois
et deux avec les expressions associées du reste de Lagrange, soit :
où vi et Ei sont deux nombres compris entre zi et X~+I. À partir de là, on obtient une estimation
de E, :
où Bi est un nombre compris entre xi et IC~+I. Il s’ensuit l’expression de E :
Cette expression prend une forme plus simple en majorant la somme, soit :
E = -NM2 = (i’~~,
12
12N2
où A42 est le sup de la valeur absolue de la dérivée deuxième f”(z) sur l’intervalle (a, b).
3. La méthode de Simpson (1811-1870)
La méthode de Simpson repose sur l’utilisation de la formule d’intégration dite des trois niveaux.
Cela signifie que l’on réalise une interpolation parabolique au lieu de l’interpolation linéaire
utilisée dans la méthode des trapèzes, mais le gain est plus conséquent car la formule des trois
niveaux étant exacte pour un polynôme de degré trois, l’interpolation réalisée est celle d’une
parabole cubique. Le calcul de l’erreur nous montrera qu’il en est bien ainsi, en constatant que
son expression est proportionnelle à 1/N4.
Toutefois, une légère différence existe dans le découpage de l’intervalle (a, b) qui est maintenant
réalisé à l’aide d’un nombre pair de points, soit 2N ce nombre, ainsi h est donné par l’expression
h = (b - U)/~N.D ans ces conditions, la formule d’intégration qui porte sur trois points
consécutifs s’écrit :
puis :
h
4 = - [f(Qi) + 4f(Qi+1) + f(X2i+2)1 ,
3
N-l
1’ =
c 5’: =
; f(Xo + f(xN) + 2 Nc f(Qi) + 4 N$ f(Xzi+i)
.
i=o
i=l
i=O