12. LES PoLyrvônnEs DE BERNOULLI, FORMULE D'EULER-MACLAURIN
Estimation de l’erreur mathématique - L’erreur due à l’approximation mathématique s’écrit :
E = II- 1'1.
Désignons par F(U) la primitive de la fonction f(x). Nous pouvons écrire :
puis :
Ei = si - si = F(x~+~) - F(zi) - hf(zi) = F(xi+h) - F(G) - kf(G).
Cette expression va nous permettre d’obtenir une évaluation de l’erreur en effectuant un
développement limité de F(Q+~) à l’ordre deux avec l’expression du reste de Lagrange, soit :
E, = F(Q)+ hf(zi)+ ;f'(qi) -F(G) ~ hf(zi)
où ni est un nombre compris entre I CI et X~+I. À partir de là, on obtient une estimation de Ei,
soit :
suivie de celle de E :
E = ; Nff'(,ii).
i=o
Cette expression prend une forme plus simple en majorant la somme, soit :
où Mr est le sup de la valeur absolue de la dérivée f’(x) sur l’intervalle (a, b)
2.2. La méthode des trapèzes
En conservant les notations du précédent paragraphe, on désigne par si la valeur de l’intégrale
calculée entre deux points consécutifs zi et zi+l ; elle est approchée par si :
s: = ; [f(%+1) + f(G)1
qui représente la surface du trapèze déterminé par les points xi, X~+I, f(~i) et f(~i+r). En
désignant par 1’ l’approximation de l’intégrale 1 obtenue par sommation des si, nous pouvons
écrire :
N-l
1’ =
c s; =
; f(x,,) +
f(%N)
+
2 Ne f(xi) .
i=O
i=l
187