MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Si la méthode de Romberg donne un résultat avec un ordre de grandeur meilleur que le
résultat donné par la méthode de l’epsilon-algorithme, on obtient encore de meilleurs résultats
avec beaucoup moins de calculs en utilisant la méthode de Gauss-Legendre dont voici les résultats
en 4, 6 et 12 points.
4 points I = 0,240228
6 points I = 0,240 226 509
12 points I = 0,240 226 507.
Ces derniers calculs ont été réalisés avec une machine fonctionnant avec 10 chiffres significatifs.
2. Autres méthodes d’intégration
Si les méthodes fondées sur la technique de Gauss sont, d’une façon générale, les plus performantes, il existe un certain nombre d’algorithmes très simples qui méritent d’être présentés, ne
serait-ce que pour la réflexion qu’ils suscitent.
Il est bien entendu que l’on s’intéresse ici à l’intégration numérique des fonctions dont
l’intégrale sur un intervalle fini (a, b) a un sens, d’ailleurs cette fonction peut être continue
par morceaux avec des points de discontinuité de première espèce. Cela signifie que l’on effectue
le calcul sur les différents morceaux selon une des méthodes que nous allons exposer, et que nous
en ferons ensuite la somme.
Une intégrale peut avoir un sens bien que la fonction à intégrer présente une apparence de
discontinuité de seconde espèce : nous avons rencontré un exemple à propos de la méthode de
Gauss généralisée : les singularités étaient alors contenues dans la fonction-poids aux bornes de
l’intervalle fondamental.
Quoi qu’il en soit, nous nous intéressons au calcul de :
1=
f(z)dz
s
a
où a et b sont des nombres finis et f(z) une fonction continue possédant des dérivées jusqu’à
l’ordre nécessaire pour le besoin des calculs d’erreur.
2.1. La méthode des rectangles
L’intervalle sur lequel s’effectue l’intégration est divisé en N sous-intervalles de longueur égale
h = (b-a)/N ce qru nous définit une suite d’abscisses xi en progression arithmétique. La valeur
de l’intégrale entre deux points consécutifs xi et xi+1 notée si est approchée par s: :
si = hf(xi) ;
la sommation des si fournit une approximation de l’intégrale 1. Désignons par 1’ l’approximation
obtenue :
N-l
N-l
I’.= c si = c f(G).
i=o
i=o
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Si la méthode de Romberg donne un résultat avec un ordre de grandeur meilleur que le
résultat donné par la méthode de l’epsilon-algorithme, on obtient encore de meilleurs résultats
avec beaucoup moins de calculs en utilisant la méthode de Gauss-Legendre dont voici les résultats
en 4, 6 et 12 points.
4 points I = 0,240228
6 points I = 0,240 226 509
12 points I = 0,240 226 507.
Ces derniers calculs ont été réalisés avec une machine fonctionnant avec 10 chiffres significatifs.
2. Autres méthodes d’intégration
Si les méthodes fondées sur la technique de Gauss sont, d’une façon générale, les plus performantes, il existe un certain nombre d’algorithmes très simples qui méritent d’être présentés, ne
serait-ce que pour la réflexion qu’ils suscitent.
Il est bien entendu que l’on s’intéresse ici à l’intégration numérique des fonctions dont
l’intégrale sur un intervalle fini (a, b) a un sens, d’ailleurs cette fonction peut être continue
par morceaux avec des points de discontinuité de première espèce. Cela signifie que l’on effectue
le calcul sur les différents morceaux selon une des méthodes que nous allons exposer, et que nous
en ferons ensuite la somme.
Une intégrale peut avoir un sens bien que la fonction à intégrer présente une apparence de
discontinuité de seconde espèce : nous avons rencontré un exemple à propos de la méthode de
Gauss généralisée : les singularités étaient alors contenues dans la fonction-poids aux bornes de
l’intervalle fondamental.
Quoi qu’il en soit, nous nous intéressons au calcul de :
1=
f(z)dz
s
a
où a et b sont des nombres finis et f(z) une fonction continue possédant des dérivées jusqu’à
l’ordre nécessaire pour le besoin des calculs d’erreur.
2.1. La méthode des rectangles
L’intervalle sur lequel s’effectue l’intégration est divisé en N sous-intervalles de longueur égale
h = (b-a)/N ce qru nous définit une suite d’abscisses xi en progression arithmétique. La valeur
de l’intégrale entre deux points consécutifs xi et xi+1 notée si est approchée par s: :
si = hf(xi) ;
la sommation des si fournit une approximation de l’intégrale 1. Désignons par 1’ l’approximation
obtenue :
N-l
N-l
I’.= c si = c f(G).
i=o
i=o