12. LES PoLwvôMEs DE BERNOULLI, FORMULE D'EULER-MACLAURIN
Reprenant l’expression de la méthode de Richardson généralisée et en posant :
F(O) = 0
et F(z,) = 2,
nous pouvons écrire :
T(k+l) _ (ho/2n)Tf21 - (ho/2n+“+1)TTF
7 2
(ho/2n)2 - (/@/2n+k+1)2
:
ce qui s’écrit encore :
T(“+l)
=
4k:+‘T~~l - Tik)
n
4’“+11
.
En résumé, on utilise les relations suivantes :
h =bpa
0n ’
hz=;,
Sio) = h,,
f(a) + f(b)
2
+ef(a+kh,,)
avec m = 2n - 1.
k=l
1.8. Un exemple numérique
On se propose de calculer l’intégrale suivante :
1
1= .I
1% (1+ xl
dz =
1+x
; [log,(2)]’ = 0,240 226 507
0
et de former la suite des Ik à partir de ho = f . On obtient alors le tableau 12.1
Tableau
12.1.
Suite initiale
0,22 8
0,235 5
0,239 03
0,239 926
0,240 151
0,240 066 6
0,240 216 00
0,240 206 6
0,240 226 03
0,240 225 87
0,240 226 653
0,240 224 6
0,240 226 651
0,240 226 64
0,240 226 5
L’erreur est E = 0,14 1OW”. L’epsilon-algorithme appliqué à la même suite donne le résultat
suivant : I = 0,240 225 49 avec une erreur E = 0,l 10F5.
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