MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
1.7. La méthode de Romberg
Quand on calcule une intégrale 1 = 5: f(x) dI L~ p ar 1 a méthode des trapèzes avec un pas h, = $$,
n
on obtient la relation suivante :
I f = + f ( u) + f ( b) + nj f(a + khn)
k=l
avec comme expression de l’erreur mathématique de troncature :
E, = -vf”(:,)
avec a < a: < b.
Si n tend vers l’infini, la suite Inn, générée par la méthode des trapèzes, converge vers la valeur
de l’intégrale. On peut alors songer à accélérer la procédure de convergence au moyen d’un des
algorithmes présentés au chapitre 2, mais on peut aussi utiliser le fait que l’erreur est donnée
par la formule d’Euler-MacLaurin en soulignant toutefois que la fonction f(x) doit être (2~ + 2)
fois dérivable sur l’intervalle (a, b). Revenons à cette expression de l’erreur :
h2Pt2
hn
E = (2JT+ 2)! J’
f2p+2(x+hn-t) [n,, (;) -n,,+,] &
0
2
et nous notons que cette erreur est un polynôme en h,. L’idée de la méthode de Romberg repose
sur le calcul de 1, pour des valeurs différentes de h,, et de construire le polynôme d’interpolation
de la variable hk passant par les 1n puis de calculer la valeur de ce polynôme d’interpolation
pour h, = 0. Il faut bien remarquer que la valeur obtenue de In pour en h, tendant vers zéro
est une extrapolation du polynôme d’interpolation.
Pour réaliser l’extrapolation, on aura recours à la procédure de Richardson généralisée
- généralisation qui semble avoir été conçue à cet effet. Comme l’erreur est un polynôme en
hi, on prendra :
Malheureusement, si nous appliquons le procédé de Richardson à la suite des In, la condition
assurant la convergence ne sera pas vérifiée car :
hn
lim ~
h
= 1 quand n tend vers l’infini.
n+l
Pour pallier cet inconvénient, et assurer la condition de convergence, on choisit la suite S,
formée par les valeurs Iz,,. Autrement dit, on calculera les intégrales 1n par la méthode des
trapèzes avec un pas donné par l’expression :
b-a
hz, = ~
2”
avec ho = b ~ a.
On vérifie alors que l’on obtient :
X,
ho 2n+1
lim- = -~ =
x,+1
2” ho
2.
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DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
1.7. La méthode de Romberg
Quand on calcule une intégrale 1 = 5: f(x) dI L~ p ar 1 a méthode des trapèzes avec un pas h, = $$,
n
on obtient la relation suivante :
I f = + f ( u) + f ( b) + nj f(a + khn)
k=l
avec comme expression de l’erreur mathématique de troncature :
E, = -vf”(:,)
avec a < a: < b.
Si n tend vers l’infini, la suite Inn, générée par la méthode des trapèzes, converge vers la valeur
de l’intégrale. On peut alors songer à accélérer la procédure de convergence au moyen d’un des
algorithmes présentés au chapitre 2, mais on peut aussi utiliser le fait que l’erreur est donnée
par la formule d’Euler-MacLaurin en soulignant toutefois que la fonction f(x) doit être (2~ + 2)
fois dérivable sur l’intervalle (a, b). Revenons à cette expression de l’erreur :
h2Pt2
hn
E = (2JT+ 2)! J’
f2p+2(x+hn-t) [n,, (;) -n,,+,] &
0
2
et nous notons que cette erreur est un polynôme en h,. L’idée de la méthode de Romberg repose
sur le calcul de 1, pour des valeurs différentes de h,, et de construire le polynôme d’interpolation
de la variable hk passant par les 1n puis de calculer la valeur de ce polynôme d’interpolation
pour h, = 0. Il faut bien remarquer que la valeur obtenue de In pour en h, tendant vers zéro
est une extrapolation du polynôme d’interpolation.
Pour réaliser l’extrapolation, on aura recours à la procédure de Richardson généralisée
- généralisation qui semble avoir été conçue à cet effet. Comme l’erreur est un polynôme en
hi, on prendra :
Malheureusement, si nous appliquons le procédé de Richardson à la suite des In, la condition
assurant la convergence ne sera pas vérifiée car :
hn
lim ~
h
= 1 quand n tend vers l’infini.
n+l
Pour pallier cet inconvénient, et assurer la condition de convergence, on choisit la suite S,
formée par les valeurs Iz,,. Autrement dit, on calculera les intégrales 1n par la méthode des
trapèzes avec un pas donné par l’expression :
b-a
hz, = ~
2”
avec ho = b ~ a.
On vérifie alors que l’on obtient :
X,
ho 2n+1
lim- = -~ =
x,+1
2” ho
2.
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