12. LES POLYNÔMES DE BERNOULLI, FORMULE D'EULER-MACLAURIN
Application au calcul de la constante d’Euler - Par définition, la constante d’Euler (17071783) est donnée par l’expression :
y = liliv
(
1 + ; + ; + ; + ‘. +. ‘. + ; - log,(m)
)
Cette série ne converge pas très rapidement, aussi lui préfère-t-on un développement asymptotique encore appelé série semi-convergente que l’on obtient de la façon suivante : dans l’expression
précédente, on fait f(x) = loge(z), h = 1 et ICI = m (entier positif quelconque). On obtient alors
sans problème :
1
=log,(m)+y-&-&--120m4
& + . ’ +
(-lPh +. . .
k=l
2,qrn2”
Retenons les treize premiers nombres de Bernoulli (non nuls), et calculons la somme pour
m = 13 : alors, on obtient y avec quinze chiffres significatifs exacts en utilisant la représentation
des nombres sur huit octets (16 chiffres significatifs).
1.6. Application au modèle des chaleurs spécifiques selon Debye (1884-1966)
En 1912, Debye a proposé un modèle de la chaleur spécifique des solides qui aboutit au résultat
suivant (le modèle ainsi que l’utilisation des nombres de Bernoulli sont présentés dans l’ouvrage
de Rocard cité en bibliographie) :
z
.I
Y3
du -
3x
expb) - 1
exp(x) - 1
0
où x = U/T (U est une constante dépendant uniquement de la nature du corps considéré, elle
s’appelle température caractéristique). On se propose d’établir une table de la chaleur spécifique
de l’argent pour lequel U = 215 K. On écrit les relations suivantes :
X
exp(x) - 1
avec &k+r = 0,
n=O
Y3
exp(y) - 1
n=O
puis on calcule l’intégrale :
2
s exp; ; _ 1 dy = 2 yn+3
x2k+3
0
n=. (n + 3)n!
B,
= ; - ; +F
k=l (2k + 3)(2k)! B2k
on déduit que :
d’où
1+3~ci?2&$ .
kEl (2k)!
Cette dernière expression a fait l’objet du programme argent. c qui est donné sur le Web (*).