MANUEL DE CALCUL NUMÉ RIQUE APPLIQUÉ
La dérivée d’ordre n + 1 de l’expression sous le signe somme, notée g(x) est donnée par les
polynômes d’Hermite (cf. chapitre 10) :
= (-l)“+‘Kn+r(x) exp
Cherchons le sup de la valeur absolue de cette expression dans l’intervalle (0,2). Désignons
par A&+i cette valeur. Elle est obtenue pour l’une des valeurs qui annulent la dérivée de g(z),
soit :
= (-l)“K,+z(s)exp
Ce sont donc les zéros du polynôme d’Hermite de degré n+2 qui sont les extremums de g(x), on
les note a&. Il est facile de calculer les valeurs de g(ak) correspondant aux racines ak contenues
dans l’intervalle (a, b) ici (0,2), et de choisir la plus grande valeur absolue. Cette opération va
être rendue aisée par l’usage des coefficients HI, calculés lors de l’intégration de Gauss-Hermite ;
en effet nous avons :
de là, on tire :
j7(“+2) =
(n + l)!Jz
k
(n + 2, iKn+l (uk)]
2’
Pour fixer les idées, choisissons n = 8, alors nous trouvons :
J = 0,477250 155
La consultation de la table donnée chapitre 10 (concernant le polynôme de degré 10) nous montre
que seules deux racines nous intéressent dans l’intervalle (0,2), elles donnent des extremums du
même ordre de grandeur et l’on trouve :
d’où
M n+l = 217,
E(n = 8) < Jg
-0,529 lO@ = 4,6 10-5,
et
J = 0,47725 f 0,00046.
Ce résultat peut apparaître médiocre, en fait il est dû à la majoration excessive de la
dérivée d’ordre (n + 1). En général, il est très difficile de calculer formellement la dérivée
d’ordre n d’une fonction, et rares sont les exercices qui le permettent, aussi ne s’attardera-t-on
qu’exceptionnellement sur leur majoration.
Cette raison explique pourquoi il n’est pas possible de comparer directement, dans le cas
général, les résultats fournis par la méthode des trapèzes et par la méthode de Simpson puisque
la première méthode donne une précision en fonction de la dérivée deuxième et la seconde en
fonction de la dérivée quatrième. La comparaison n’a de sens que dans l’étude de cas particuliers
au cours desquels on sait expliciter les dérivées et les majorer convenablement...
Quoi qu’il en soit, ici, pour 7~ = 8, les six premiers chiffres significatifs sont exacts...
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La dérivée d’ordre n + 1 de l’expression sous le signe somme, notée g(x) est donnée par les
polynômes d’Hermite (cf. chapitre 10) :
= (-l)“+‘Kn+r(x) exp
Cherchons le sup de la valeur absolue de cette expression dans l’intervalle (0,2). Désignons
par A&+i cette valeur. Elle est obtenue pour l’une des valeurs qui annulent la dérivée de g(z),
soit :
= (-l)“K,+z(s)exp
Ce sont donc les zéros du polynôme d’Hermite de degré n+2 qui sont les extremums de g(x), on
les note a&. Il est facile de calculer les valeurs de g(ak) correspondant aux racines ak contenues
dans l’intervalle (a, b) ici (0,2), et de choisir la plus grande valeur absolue. Cette opération va
être rendue aisée par l’usage des coefficients HI, calculés lors de l’intégration de Gauss-Hermite ;
en effet nous avons :
de là, on tire :
j7(“+2) =
(n + l)!Jz
k
(n + 2, iKn+l (uk)]
2’
Pour fixer les idées, choisissons n = 8, alors nous trouvons :
J = 0,477250 155
La consultation de la table donnée chapitre 10 (concernant le polynôme de degré 10) nous montre
que seules deux racines nous intéressent dans l’intervalle (0,2), elles donnent des extremums du
même ordre de grandeur et l’on trouve :
d’où
M n+l = 217,
E(n = 8) < Jg
-0,529 lO@ = 4,6 10-5,
et
J = 0,47725 f 0,00046.
Ce résultat peut apparaître médiocre, en fait il est dû à la majoration excessive de la
dérivée d’ordre (n + 1). En général, il est très difficile de calculer formellement la dérivée
d’ordre n d’une fonction, et rares sont les exercices qui le permettent, aussi ne s’attardera-t-on
qu’exceptionnellement sur leur majoration.
Cette raison explique pourquoi il n’est pas possible de comparer directement, dans le cas
général, les résultats fournis par la méthode des trapèzes et par la méthode de Simpson puisque
la première méthode donne une précision en fonction de la dérivée deuxième et la seconde en
fonction de la dérivée quatrième. La comparaison n’a de sens que dans l’étude de cas particuliers
au cours desquels on sait expliciter les dérivées et les majorer convenablement...
Quoi qu’il en soit, ici, pour 7~ = 8, les six premiers chiffres significatifs sont exacts...
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