M ANUEL
DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
obtenir la solution sous forme littérale. Cependant, chacun sait que les pendules sont capricieux,
et tous n’ont pas le bon goût de vouloir limiter l’amplitude de leurs oscillations. C’est le rôle du
calcul numérique que d’apporter une réponse à ces types de problèmes et l’on verra chaque fois
de quelle manière.
4. Solutions littérales et solutions analytiques
À propos du pendule, nous avons dit que la solution e(t, 00, w2) ne pouvait être exprimée sous
forme littérale c’est-à-dire que l’on ne pouvait pas donner une expression formelle en fonction
des transcendances usuelles et des polynômes. Cela ne signifie nullement que la solution n’est pas
une fonction analytique. À ce sujet, rappelons qu’une fonction est dite analytique lorsqu’elle est
développable en série entière, que la fonction soit réelle ou complexe, que les arguments soient
réels ou complexes. D’ailleurs, sans préjuger de la suite, on peut ajouter que le calcul numérique
fait amplement appel aux développements en série dans de nombreuses méthodes, et d’une
façon tout à fait générale, on peut affirmer que toutes les solutions numériques sont des valeurs
numériques de fonctions analytiques. En résumé, pour éviter tout abus et toute ambiguïté, il
convient de distinguer l’expression formelle d’une fonction avec son expression analytique.
5. Que sait-on calculer rigoureusement?
Comme nous ne pouvons traiter que de nombres admettant une représentation finie de chiffres
significatifs, seules l’addition, la soustraction et la multiplication donneront des résultats
rigoureux lors de l’exécution des différentes opérations (encore avons-nous fait abstraction des
réels problèmes de la taille réservée pour représenter les nombres). La première division venue
a statistiquement toutes les chances d’introduire un résultat comportant un nombre infini de
chiffres significatifs.
Sur le plan du calcul des fonctions, seuls les polynômes (dont le degré est évidemment fini)
sont susceptibles d’être calculés rigoureusement (ou avec une précision souhaitée à l’avance
dans la mesure où le calcul peut faire intervenir la division). Là repose le grand intérêt des
développements en série (de MacLaurin (1698-1746) et Taylor (168551731)) qui fournit une
expression calculable sachant que l’on se fixe à l’avance une précision donnée et sachant que l’on
peut majorer convenablement l’expression du reste de la série. Au passage, il est bon de noter
que l’on sait en général réaliser une opération formelle importante : la dérivation, indispensable
au calcul des coefficients du développement en série.
Considérons une fonction f(x) régulière c’est-à-dire continue, dérivable autant de fois que l’on
veut dans un domaine D contenant a et a + h, son développement en série de Taylor s’écrit :
f(a + h) = f(a) +
f”(a)
-h2+-+
f(“)(a)
-+” -t R~+I
n.
où R~+I est l’expression du reste lorsque l’on tronque par nécessité le développement à l’ordre
72. Ce reste s’écrit :
R
f@+‘)(t) hTZ+l
n+l = (n+ l)!
où < est un nombre compris entre a et (a + h).
Il est quasiment impossible de connaître 6 et, conformément à l’usage, on cherche un majorant
de GI dans l’intervalle (a, a + h). À ce propos, rappelons que si R,+l tend vers zéro quand
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DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
obtenir la solution sous forme littérale. Cependant, chacun sait que les pendules sont capricieux,
et tous n’ont pas le bon goût de vouloir limiter l’amplitude de leurs oscillations. C’est le rôle du
calcul numérique que d’apporter une réponse à ces types de problèmes et l’on verra chaque fois
de quelle manière.
4. Solutions littérales et solutions analytiques
À propos du pendule, nous avons dit que la solution e(t, 00, w2) ne pouvait être exprimée sous
forme littérale c’est-à-dire que l’on ne pouvait pas donner une expression formelle en fonction
des transcendances usuelles et des polynômes. Cela ne signifie nullement que la solution n’est pas
une fonction analytique. À ce sujet, rappelons qu’une fonction est dite analytique lorsqu’elle est
développable en série entière, que la fonction soit réelle ou complexe, que les arguments soient
réels ou complexes. D’ailleurs, sans préjuger de la suite, on peut ajouter que le calcul numérique
fait amplement appel aux développements en série dans de nombreuses méthodes, et d’une
façon tout à fait générale, on peut affirmer que toutes les solutions numériques sont des valeurs
numériques de fonctions analytiques. En résumé, pour éviter tout abus et toute ambiguïté, il
convient de distinguer l’expression formelle d’une fonction avec son expression analytique.
5. Que sait-on calculer rigoureusement?
Comme nous ne pouvons traiter que de nombres admettant une représentation finie de chiffres
significatifs, seules l’addition, la soustraction et la multiplication donneront des résultats
rigoureux lors de l’exécution des différentes opérations (encore avons-nous fait abstraction des
réels problèmes de la taille réservée pour représenter les nombres). La première division venue
a statistiquement toutes les chances d’introduire un résultat comportant un nombre infini de
chiffres significatifs.
Sur le plan du calcul des fonctions, seuls les polynômes (dont le degré est évidemment fini)
sont susceptibles d’être calculés rigoureusement (ou avec une précision souhaitée à l’avance
dans la mesure où le calcul peut faire intervenir la division). Là repose le grand intérêt des
développements en série (de MacLaurin (1698-1746) et Taylor (168551731)) qui fournit une
expression calculable sachant que l’on se fixe à l’avance une précision donnée et sachant que l’on
peut majorer convenablement l’expression du reste de la série. Au passage, il est bon de noter
que l’on sait en général réaliser une opération formelle importante : la dérivation, indispensable
au calcul des coefficients du développement en série.
Considérons une fonction f(x) régulière c’est-à-dire continue, dérivable autant de fois que l’on
veut dans un domaine D contenant a et a + h, son développement en série de Taylor s’écrit :
f(a + h) = f(a) +
f”(a)
-h2+-+
f(“)(a)
-+” -t R~+I
n.
où R~+I est l’expression du reste lorsque l’on tronque par nécessité le développement à l’ordre
72. Ce reste s’écrit :
R
f@+‘)(t) hTZ+l
n+l = (n+ l)!
où < est un nombre compris entre a et (a + h).
Il est quasiment impossible de connaître 6 et, conformément à l’usage, on cherche un majorant
de GI dans l’intervalle (a, a + h). À ce propos, rappelons que si R,+l tend vers zéro quand
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