1. GÉNÉR.~LITÉ~ suRLE ~AL~~LNuMÉRIQuE
n tend vers l’infini, pour une fonction pourvue d’une infinité de dérivées, le développement de
Taylor devient une série entière appelée série de MacLaurin.
En définitive, nous ne savons calculer que peu de choses avec une extrême rigueur, mais les
polynômes en font partie, et cela leur confère un rôle particulièrement intéressant en calcul
numérique. À bien y réfléchir, cela met en relief une autre facette du théorème d’approximation
de Weierstrass (1815-1897) qui date de 1885 et sur lequel nous aurons le loisir d’insister
ultérieurement à propos de l’interpolation (chapitre 6).
6. Les erreurs et les incertitudes
Un algorithme donné permet d’obtenir des résultats numériques qui, malheureusement, sont
entachés d’erreurs dont les sources proviennent d’origines différentes.
Tout d’abord, il faut évoquer l’erreur au sens trivial du terme, c’est-à-dire la méprise; elle
mérite quelques commentaires tout simplement parce qu’elle est polymorphe et qu’elle n’est pas
toujours évidente à détecter. Cela peut aller de l’erreur de méthode ou d’algorithme à la simple
faute de copie ou de transcription. Que d’ennuis liés à la transmission de mauvaises données,
alors que le programme est tout à fait convenable. C’est la raison pour laquelle, derrière toute
instruction de lecture, il est impératif de réécrire la donnée communiquée et c’est du reste une
bonne façon de la voir figurer sur la feuille de résultats.
Ici, comme ailleurs, il n’y a pas de règles universelles qui permettent d’éviter la bévue;
cependant, lors de la phase de mise au point, évitons les compilateurs tolérants, vérifions que
nous retrouvons les résultats connus liés à certains types de problèmes, sollicitons le jugement
éclairé d’un collègue.. .
Maintenant, dans l’hypothèse où l’algorithme retenu est adéquat, et que sa programmation
apparaît sans faille (ce qui implique de surcroît que l’algorithme soit adapté aux données
traitées), on peut envisager l’étude des erreurs entachant les résultats numériques obtenus.
6.1. Erreurs à caractère mathématique
La différence entre la solution strictement mathématique et la solution approchée fournit un
terme d’erreur : c’est le cas fréquemment rencontré lors de l’étude des séries infinies, des suites
infinies, des produits infinis, etc. Dans tous les cas classiques, on arrive à connaître un majorant
raisonnable des restes qui sont abandonnés.
6.2. Erreurs liées à l’exécution des calculs
Les données numériques confiées à une machine ont deux origines : ce sont des nombres d’origine
strictement mathématique (calcul d’une intégrale par exemple) ou des données provenant de
mesures lesquelles sont déterminées dans un intervalle (autrement dit à une certaine précision
près), c’est ce que le physicien dénomme incertitude. Quelle que soit leur origine, les données
comportent une erreur ou une incertitude, car même dans le premier cas, les opérations de
conversion et d’arrondi introduisent statistiquement une erreur.
La machine traite ces données selon un certain algorithme et procède à chaque étape
élémentaire à une opération d’arrondi. L’arrondi est une opération qui consiste à ajouter à
la mantisse du nombre la valeur 0,5 puis à tronquer le résultat, ce qui permet de diviser les
erreurs machine par deux.
Après l’exécution de tous les calculs, on doit se demander inévitablement quelle est la précision
du résultat final. Il s’agit de voir comment l’incertitude finale a été propagée au cours de toutes
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n tend vers l’infini, pour une fonction pourvue d’une infinité de dérivées, le développement de
Taylor devient une série entière appelée série de MacLaurin.
En définitive, nous ne savons calculer que peu de choses avec une extrême rigueur, mais les
polynômes en font partie, et cela leur confère un rôle particulièrement intéressant en calcul
numérique. À bien y réfléchir, cela met en relief une autre facette du théorème d’approximation
de Weierstrass (1815-1897) qui date de 1885 et sur lequel nous aurons le loisir d’insister
ultérieurement à propos de l’interpolation (chapitre 6).
6. Les erreurs et les incertitudes
Un algorithme donné permet d’obtenir des résultats numériques qui, malheureusement, sont
entachés d’erreurs dont les sources proviennent d’origines différentes.
Tout d’abord, il faut évoquer l’erreur au sens trivial du terme, c’est-à-dire la méprise; elle
mérite quelques commentaires tout simplement parce qu’elle est polymorphe et qu’elle n’est pas
toujours évidente à détecter. Cela peut aller de l’erreur de méthode ou d’algorithme à la simple
faute de copie ou de transcription. Que d’ennuis liés à la transmission de mauvaises données,
alors que le programme est tout à fait convenable. C’est la raison pour laquelle, derrière toute
instruction de lecture, il est impératif de réécrire la donnée communiquée et c’est du reste une
bonne façon de la voir figurer sur la feuille de résultats.
Ici, comme ailleurs, il n’y a pas de règles universelles qui permettent d’éviter la bévue;
cependant, lors de la phase de mise au point, évitons les compilateurs tolérants, vérifions que
nous retrouvons les résultats connus liés à certains types de problèmes, sollicitons le jugement
éclairé d’un collègue.. .
Maintenant, dans l’hypothèse où l’algorithme retenu est adéquat, et que sa programmation
apparaît sans faille (ce qui implique de surcroît que l’algorithme soit adapté aux données
traitées), on peut envisager l’étude des erreurs entachant les résultats numériques obtenus.
6.1. Erreurs à caractère mathématique
La différence entre la solution strictement mathématique et la solution approchée fournit un
terme d’erreur : c’est le cas fréquemment rencontré lors de l’étude des séries infinies, des suites
infinies, des produits infinis, etc. Dans tous les cas classiques, on arrive à connaître un majorant
raisonnable des restes qui sont abandonnés.
6.2. Erreurs liées à l’exécution des calculs
Les données numériques confiées à une machine ont deux origines : ce sont des nombres d’origine
strictement mathématique (calcul d’une intégrale par exemple) ou des données provenant de
mesures lesquelles sont déterminées dans un intervalle (autrement dit à une certaine précision
près), c’est ce que le physicien dénomme incertitude. Quelle que soit leur origine, les données
comportent une erreur ou une incertitude, car même dans le premier cas, les opérations de
conversion et d’arrondi introduisent statistiquement une erreur.
La machine traite ces données selon un certain algorithme et procède à chaque étape
élémentaire à une opération d’arrondi. L’arrondi est une opération qui consiste à ajouter à
la mantisse du nombre la valeur 0,5 puis à tronquer le résultat, ce qui permet de diviser les
erreurs machine par deux.
Après l’exécution de tous les calculs, on doit se demander inévitablement quelle est la précision
du résultat final. Il s’agit de voir comment l’incertitude finale a été propagée au cours de toutes
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