1. GÉNÉRALITÉ~
PUR LE CALCUL NUMÉRIQUE
Ensuite l’équation du quatrième degré fut abordée et résolue par Ferrari (152221565) qui fut
un élève de Cardan. Plus tard, les mathématiciens s’intéressèrent tout naturellement à l’équation
du cinquième degré et les recherches furent très riches d’enseignements dans la mesure où, selon
toute vraisemblance pour la première fois dans l’histoire des sciences, le travail conduisit à
l’énoncé d’un résultat négatif.
1. En 1608, Rothe (??1617) émit une proposition selon laquelle toute équation algébrique
de degré n possédait n racines réelles ou complexes, et Gauss (177771855) en effectua la
démonstration rigoureuse en 1799.
2. Cette même année Ruffini (176551822) affirma l’impossibilité formelle d’obtenir la résolution
des équations algébriques de degré supérieur à quatre. Il fallut attendre la publication des
travaux d’Abel (180221829) pour obtenir la démonstration définitive de la proposition de
Ruffini (1826).
Ce résumé de l’histoire des équations algébriques nous mène à deux types de remarques :
Remarque 1 : Le fait de poser un problème dont la solution existe n’est pas suffisant pour
permettre d’exhiber effectivement ladite solution selon des moyens donnés. On peut se rappeler
à ce propos le problème de la trisection de l’angle qui n’est pas algorithmiquement soluble si les
moyens de construction autorisés sont la règle et le compas.
Aujourd’hui, on sait que les problèmes que l’on peut se poser sont de trois types à savoir :
a. les problèmes algorithmiquement solubles, l’équation du deuxième degré par exemple;
b. les problèmes algorithmiquement non solubles, par exemple la quadrature du cercle à l’aide
de la règle et du compas;
c. les problèmes indécidables pour lesquels on ne peut rien démontrer. Du reste, dans une
axiomatique donnée, on sait qu’il existe des propositions vraies que l’on ne peut pas
démontrer, à condition de considérer toutefois que les axiomes de l’arithmétique ne sont
pas contradictoires (cf. Gode1 (190661978)).
Remarque 2 : Ce n’est pas parce qu’un problème est algorithmiquement insoluble que l’on
n’est pas en mesure de proposer une solution approchée ~ généralement avec une précision
fixée à l’avance ~ et c’est justement la raison d’être du calcul numérique que de fournir de
telles solutions; par exemple, on verra comment calculer les racines d’un polynôme de degré
quelconque à coefficients réels.
En terminant ce paragraphe, nous remarquerons que les problèmes de calcul numérique sont
uniquement des problèmes d’approximation de fonctions au sens le plus large. Souvenons-nous
d’une des premières équations différentielles que nous avons rencontrée en Physique, il s’agit
de l’équation du pendule pesant assujetti à osciller dans un plan. On écrit traditionnellement
l’équation à laquelle obéit son mouvement :
d’Q(t)
dt2
+ w2 sin O(t) = 0,
où Q(t) est l’angle que le pendule fait avec la verticale à un instant donné, w étant une constante
dépendant de la longueur du pendule et de l’accélération. Alors, on apprend que l’on ne peut
pas obtenir la solution sous forme littérale (t, 00, Oo, w”) à l’aide des transcendances usuelles (0,
et 190 sont les conditions initiales sur l’angle et la vitesse angulaire). Pourtant, le théorème de
Cauchy-Lipschitz nous permet d’affirmer l’existence et l’unicité d’une telle solution qui est de
surcroît une fonction analytique.
La tradition veut également que l’on ne s’intéresse qu’au cas des petits angles pour lesquels on
peut écrire le développement de sin O(t) au premier ordre. Alors, dans ce cas particulier, on sait
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PUR LE CALCUL NUMÉRIQUE
Ensuite l’équation du quatrième degré fut abordée et résolue par Ferrari (152221565) qui fut
un élève de Cardan. Plus tard, les mathématiciens s’intéressèrent tout naturellement à l’équation
du cinquième degré et les recherches furent très riches d’enseignements dans la mesure où, selon
toute vraisemblance pour la première fois dans l’histoire des sciences, le travail conduisit à
l’énoncé d’un résultat négatif.
1. En 1608, Rothe (??1617) émit une proposition selon laquelle toute équation algébrique
de degré n possédait n racines réelles ou complexes, et Gauss (177771855) en effectua la
démonstration rigoureuse en 1799.
2. Cette même année Ruffini (176551822) affirma l’impossibilité formelle d’obtenir la résolution
des équations algébriques de degré supérieur à quatre. Il fallut attendre la publication des
travaux d’Abel (180221829) pour obtenir la démonstration définitive de la proposition de
Ruffini (1826).
Ce résumé de l’histoire des équations algébriques nous mène à deux types de remarques :
Remarque 1 : Le fait de poser un problème dont la solution existe n’est pas suffisant pour
permettre d’exhiber effectivement ladite solution selon des moyens donnés. On peut se rappeler
à ce propos le problème de la trisection de l’angle qui n’est pas algorithmiquement soluble si les
moyens de construction autorisés sont la règle et le compas.
Aujourd’hui, on sait que les problèmes que l’on peut se poser sont de trois types à savoir :
a. les problèmes algorithmiquement solubles, l’équation du deuxième degré par exemple;
b. les problèmes algorithmiquement non solubles, par exemple la quadrature du cercle à l’aide
de la règle et du compas;
c. les problèmes indécidables pour lesquels on ne peut rien démontrer. Du reste, dans une
axiomatique donnée, on sait qu’il existe des propositions vraies que l’on ne peut pas
démontrer, à condition de considérer toutefois que les axiomes de l’arithmétique ne sont
pas contradictoires (cf. Gode1 (190661978)).
Remarque 2 : Ce n’est pas parce qu’un problème est algorithmiquement insoluble que l’on
n’est pas en mesure de proposer une solution approchée ~ généralement avec une précision
fixée à l’avance ~ et c’est justement la raison d’être du calcul numérique que de fournir de
telles solutions; par exemple, on verra comment calculer les racines d’un polynôme de degré
quelconque à coefficients réels.
En terminant ce paragraphe, nous remarquerons que les problèmes de calcul numérique sont
uniquement des problèmes d’approximation de fonctions au sens le plus large. Souvenons-nous
d’une des premières équations différentielles que nous avons rencontrée en Physique, il s’agit
de l’équation du pendule pesant assujetti à osciller dans un plan. On écrit traditionnellement
l’équation à laquelle obéit son mouvement :
d’Q(t)
dt2
+ w2 sin O(t) = 0,
où Q(t) est l’angle que le pendule fait avec la verticale à un instant donné, w étant une constante
dépendant de la longueur du pendule et de l’accélération. Alors, on apprend que l’on ne peut
pas obtenir la solution sous forme littérale (t, 00, Oo, w”) à l’aide des transcendances usuelles (0,
et 190 sont les conditions initiales sur l’angle et la vitesse angulaire). Pourtant, le théorème de
Cauchy-Lipschitz nous permet d’affirmer l’existence et l’unicité d’une telle solution qui est de
surcroît une fonction analytique.
La tradition veut également que l’on ne s’intéresse qu’au cas des petits angles pour lesquels on
peut écrire le développement de sin O(t) au premier ordre. Alors, dans ce cas particulier, on sait
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