M ANUEL
DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
racine carrée venue ont toutes les chances d’introduire un nombre dont la représentation impose
une infinité de chiffres significatifs, il faudra les tronquer...
La connaissance de la manière dont les nombres sont représentés dans la machine utilisée
est fondamentale en ce sens qu’elle permet l’estimation de la précision attachée aux résultats
d’un calcul. Dès lors, on comprend tres bien que la recherche d’une grande précision imposera
une grande taille de mots-machine et par conséquent un grand temps de calcul. En revanche,
une faible précision n’imposera qu’une petite taille du mot-machine ainsi qu’un faible temps de
calcul. Le choix retenu est en général un compromis entre ces deux situations extrêmes.
Cette dernière étape intervient lors de l’évaluation de l’incertitude qui entache les résultats
d’un calcul, mais ce n’est pas la seule source. Le problème général de l’évaluation des incertitudes
et erreurs est délicat qui plus est lorsque l’on fait usage d’une machine; nous l’aborderons un
peu plus en détail dans quelques paragraphes.
2. Le calcul numérique ne concerne que les nombres entiers
Ce n’est pas une boutade, et il faut bien admettre que l’on ne peut manipuler (au sens
étymologique) que des représentations finies. La représentation dite en virgule flottante éclaire
ce point de vue car en fait elle traite de nombres ayant une certaine quantité fixe de chiffres
significatifs (agrémenté d’un facteur de cadrage appelé exposant) et dans la réalité, à chaque
opération élémentaire sur les nombres il y a une opération de cadrage suivie d’une opération
arithmétique sur les nombres entiers, elle-même suivie éventuellement d’une opération de
troncature ou d’arrondi.
Cette conception n’est pas tellement restrictive en soi, car les seules opérations arithmétiques
pratiques que 1’Homme
est susceptible de réaliser ne peuvent que concerner les nombres
admettant une représentation finie de symboles (chiffres significatifs) donc en fait des entiers.
Pour ce qui concerne les machines arithmétiques, les deux représentations, entière et flottante, ne
doivent pas masquer la réalité et il faut voir là uniquement deux représentations commodes. En
fin de chapitre, on trouvera un paragraphe traitant de quelques représentations assez générales.
3. Le calcul numérique traite du problème pratique
de l’approximation de fonctions explicites ou implicites
Un problème d’analyse se trouvant modélisé dans le langage des mathématiques pures, la
première préoccupation consiste à rechercher la solution sous forme littérale à l’aide des fonctions
connues qui sont les polynômes et les fonctions transcendantes élémentaires. On peut se poser
la question de savoir si cette façon de concevoir est toujours possible.
Tous les problèmes ne sont pas algorithmiquement solubles, et force est de répondre non à la
question posée. Pour s’en convaincre, il suffit de considérer un exemple, sous l’angle de l’histoire,
qui illustre cette difficulté : la recherche des racines d’un polynôme de degré quelconque à
coefficients réels.
Si l’équation du deuxième degré est connue depuis l’ilntiquité, on peut dire qu’il revient à
Al-Khwârizmi (fin VIII~, début IX~) et à Luca Pacioli (1445?-1514?) le fait d’avoir raffiné les
solutions.
L’école italienne de Bologne s’attaque à l’équation du troisième degré; on retiendra à son
propos les noms de Tartaglia (1500?-1557), de Cardan (1501-1576) qui parvinrent à la solution
au travers de défis et de provocations qui semblaient être coutumiers à cette époque. Signalons
toutefois que les bases de l’étude sont dues à Del Fero (1465??1526).
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DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
racine carrée venue ont toutes les chances d’introduire un nombre dont la représentation impose
une infinité de chiffres significatifs, il faudra les tronquer...
La connaissance de la manière dont les nombres sont représentés dans la machine utilisée
est fondamentale en ce sens qu’elle permet l’estimation de la précision attachée aux résultats
d’un calcul. Dès lors, on comprend tres bien que la recherche d’une grande précision imposera
une grande taille de mots-machine et par conséquent un grand temps de calcul. En revanche,
une faible précision n’imposera qu’une petite taille du mot-machine ainsi qu’un faible temps de
calcul. Le choix retenu est en général un compromis entre ces deux situations extrêmes.
Cette dernière étape intervient lors de l’évaluation de l’incertitude qui entache les résultats
d’un calcul, mais ce n’est pas la seule source. Le problème général de l’évaluation des incertitudes
et erreurs est délicat qui plus est lorsque l’on fait usage d’une machine; nous l’aborderons un
peu plus en détail dans quelques paragraphes.
2. Le calcul numérique ne concerne que les nombres entiers
Ce n’est pas une boutade, et il faut bien admettre que l’on ne peut manipuler (au sens
étymologique) que des représentations finies. La représentation dite en virgule flottante éclaire
ce point de vue car en fait elle traite de nombres ayant une certaine quantité fixe de chiffres
significatifs (agrémenté d’un facteur de cadrage appelé exposant) et dans la réalité, à chaque
opération élémentaire sur les nombres il y a une opération de cadrage suivie d’une opération
arithmétique sur les nombres entiers, elle-même suivie éventuellement d’une opération de
troncature ou d’arrondi.
Cette conception n’est pas tellement restrictive en soi, car les seules opérations arithmétiques
pratiques que 1’Homme
est susceptible de réaliser ne peuvent que concerner les nombres
admettant une représentation finie de symboles (chiffres significatifs) donc en fait des entiers.
Pour ce qui concerne les machines arithmétiques, les deux représentations, entière et flottante, ne
doivent pas masquer la réalité et il faut voir là uniquement deux représentations commodes. En
fin de chapitre, on trouvera un paragraphe traitant de quelques représentations assez générales.
3. Le calcul numérique traite du problème pratique
de l’approximation de fonctions explicites ou implicites
Un problème d’analyse se trouvant modélisé dans le langage des mathématiques pures, la
première préoccupation consiste à rechercher la solution sous forme littérale à l’aide des fonctions
connues qui sont les polynômes et les fonctions transcendantes élémentaires. On peut se poser
la question de savoir si cette façon de concevoir est toujours possible.
Tous les problèmes ne sont pas algorithmiquement solubles, et force est de répondre non à la
question posée. Pour s’en convaincre, il suffit de considérer un exemple, sous l’angle de l’histoire,
qui illustre cette difficulté : la recherche des racines d’un polynôme de degré quelconque à
coefficients réels.
Si l’équation du deuxième degré est connue depuis l’ilntiquité, on peut dire qu’il revient à
Al-Khwârizmi (fin VIII~, début IX~) et à Luca Pacioli (1445?-1514?) le fait d’avoir raffiné les
solutions.
L’école italienne de Bologne s’attaque à l’équation du troisième degré; on retiendra à son
propos les noms de Tartaglia (1500?-1557), de Cardan (1501-1576) qui parvinrent à la solution
au travers de défis et de provocations qui semblaient être coutumiers à cette époque. Signalons
toutefois que les bases de l’étude sont dues à Del Fero (1465??1526).
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