Le calcul numérique est une branche des mathématiques appliquées qui étudie les méthodes
pratiques destinées à fournir des solutions numériques aux problèmes formalisés dans le langage
des mathématiques pures. La plupart du temps, ce sont les ingénieurs et les chercheurs qui se
trouvent concernés par l’usage de ces méthodes pratiques, car ce sont en définitive les nombres
qui vont retenir leur attention. Face à un jeu d’équations plus ou moins complexes, ils devront
obtenir un ensemble de valeurs numériques qui pourra servir par exemple soit à la réalisation d’un
édifice ou d’un prototype, soit à la confrontation des résultats expérimentaux et théoriques etc.
1. La notion d’algorithme en calcul numérique
Un algorithme est un procédé de calcul qui ne met en œuvre que des opérations arithmétiques et
logiques. L’étymologie de ce mot est arabe et c’est une altération du nom du mathématicien AlKhwârizmi (t812?), probablement sous l’influence du mot grec (repris par les latins) 0 ccptOl.&
le nombre.
Quoi qu’il en soit, c’est une dénomination commode qui sert à désigner l’ensemble des
opérations qui interviennent au cours d’une démonstration conduisant à l’énoncé d’un théorème.
Cependant sa portée ne dépasse pas celle de la « prose que chacun fait sans le savoir », et en aucun
cas cette définition ne permet de donner une manière de construction des algorithmes. Il s’agit
donc d’un concept commode mais peu fécond qui sert à désigner un certain type d’organisation
de propositions à caractère mathématique. Sans que rien ne soit changé, il est tout à fait possible
de remplacer ce mot par procédé de calcul, technique de calcul, procédure...
Pour illustrer ce concept, on peut évoquer, par exemple, la technique de résolution des
équations du deuxième degré à coefficients réels à condition toutefois d’admettre que l’on
dispose outre les quatre opérations fondamentales (addition, soustraction, multiplication et
division) de l’opération racine carrée. L’examen des mathématiques montre que le nombre
d’opérations proposées dans un algorithme peut être infini (mais dénombrable), c’est le cas
des développements en série de fonctions : série entière, série de Fourier, etc.
Le concept d’algorithme en calcul numérique est quelque peu plus restrictif : le nombre
d’opérations élémentaires arithmétiques et logiques est obligatoirement fini. En outre, cela
implique que l’on ne peut manipuler que des nombres admettant une représentation finie ce
qui conduit à effectuer des troncatures et des arrondis au cours des opérations successives. Cette
remarque en apparence triviale doit pourtant être présente à l’esprit lorsque l’on fait usage d’une
machine arithmétique (mais aussi du calcul manuel...) : la première division venue, la première
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pratiques destinées à fournir des solutions numériques aux problèmes formalisés dans le langage
des mathématiques pures. La plupart du temps, ce sont les ingénieurs et les chercheurs qui se
trouvent concernés par l’usage de ces méthodes pratiques, car ce sont en définitive les nombres
qui vont retenir leur attention. Face à un jeu d’équations plus ou moins complexes, ils devront
obtenir un ensemble de valeurs numériques qui pourra servir par exemple soit à la réalisation d’un
édifice ou d’un prototype, soit à la confrontation des résultats expérimentaux et théoriques etc.
1. La notion d’algorithme en calcul numérique
Un algorithme est un procédé de calcul qui ne met en œuvre que des opérations arithmétiques et
logiques. L’étymologie de ce mot est arabe et c’est une altération du nom du mathématicien AlKhwârizmi (t812?), probablement sous l’influence du mot grec (repris par les latins) 0 ccptOl.&
le nombre.
Quoi qu’il en soit, c’est une dénomination commode qui sert à désigner l’ensemble des
opérations qui interviennent au cours d’une démonstration conduisant à l’énoncé d’un théorème.
Cependant sa portée ne dépasse pas celle de la « prose que chacun fait sans le savoir », et en aucun
cas cette définition ne permet de donner une manière de construction des algorithmes. Il s’agit
donc d’un concept commode mais peu fécond qui sert à désigner un certain type d’organisation
de propositions à caractère mathématique. Sans que rien ne soit changé, il est tout à fait possible
de remplacer ce mot par procédé de calcul, technique de calcul, procédure...
Pour illustrer ce concept, on peut évoquer, par exemple, la technique de résolution des
équations du deuxième degré à coefficients réels à condition toutefois d’admettre que l’on
dispose outre les quatre opérations fondamentales (addition, soustraction, multiplication et
division) de l’opération racine carrée. L’examen des mathématiques montre que le nombre
d’opérations proposées dans un algorithme peut être infini (mais dénombrable), c’est le cas
des développements en série de fonctions : série entière, série de Fourier, etc.
Le concept d’algorithme en calcul numérique est quelque peu plus restrictif : le nombre
d’opérations élémentaires arithmétiques et logiques est obligatoirement fini. En outre, cela
implique que l’on ne peut manipuler que des nombres admettant une représentation finie ce
qui conduit à effectuer des troncatures et des arrondis au cours des opérations successives. Cette
remarque en apparence triviale doit pourtant être présente à l’esprit lorsque l’on fait usage d’une
machine arithmétique (mais aussi du calcul manuel...) : la première division venue, la première
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