12. LES POLYNÔMES DE BERNOULLI, FORMULE D'EULER-MACLAURIN
souvenant que B2m+l = 0, on obtient le coefficient de F (k) (x) que l’on désignera par c :
B&(k - 1) + B&(k - l)(k - 2)
2!
3!
+. +B,k(k-1),.(-J-l)
. .
j!
+...
)
expression que l’on peut écrire sous la forme :
1
C= -
l C!
l+c~&+c~B2+...+C2~B .+
k 23
...
où Cz est le coefficient du binôme. En utilisant la relation (12.4) du paragraphe 1.1, nous
remarquons que :
c = Bk(1) - Bk
(k est pair).
On en déduit alors que c = 0. En définitive, il reste :
F(x + h) - F(x) = -Blh [F’(x + h) + F’(x)] + Bz; [F”(x + h) - F”(x)]
F(2P4) (x + h) _ F@P-2)
h
+...+
J
F(2p+1)(x + h - t) &
0
[
.
t2P-1
+ B1h(2p - l)!
2k
+...+
B2kh2”t2PB2p-2h2P-2
2
(217 - Lk)!(Lk)! +. . + (2p - 2)!2! t
1
dt.
(12.10)
La dernière parenthèse s’exprime simplement en fonction du polynôme de Bernoulli de degré
2p; pour cela on remarque que :
B2p-2h2P-2
h2P
(2p - 2)!2! t2 = &qBZp
h2P
-4~p=&&p(+%p].
(2P)!
Si maintenant on pose F’(X) = f(x), nous obtenons une expression canonique qui prend alors
la forme suivante :
x+h
J
f(t) dt = -Blh [f(x + h) + f(x)] + y [f’(x + h) + f’(x)]
z
h
h2P
~
+ ‘. . + (2p)! J
f(2p)(x+h-t) b2p(;) -B2p] dt. (12.11)
0
Évaluation du reste - Le reste est donné par l’expression :
h
h2P
~
E = (2p!) o
J
f(2p)(x+h-t) b2p(;) -n,,] dt
(12.12)
181