MANUEL DE CALCUL NUMÉ RIQUE APPLIQUÉ
1.4. La formule d’Euler-Maclaurin dite formule de la somme
Il s’agit d’une méthode d’intégration qui utilise les nombres de Bernoulli; pour l’obtenir, nous
allons intégrer successivement par parties l’expression suivante :
CC+11
F(x + h) - F(x) = / F’(t) dt = ]J”(z + h - t) dt.
z
0
On aboutit alors à la formule usuelle :
F(x + h) ~ F(z) = hF’(z) + $“‘(x) + . . + h’“pqn:)
(2P)!
h
+...+
J
F(2p+1)(x + h - t)& dt. (12.5)
0
Maintenant, nous allons appliquer la relation (12.5) aux dérivées successives de F(z), en nous
arrêtant toutefois au même ordre à chaque fois. Nous obtenons les formules suivantes :
h[F’(z + h) - F’(z)] = h2F”(z) + . . +
h2p
j7(2P+.)
(2p - l)!
+ h ~ t) t2p-1
(2p ~ l)!
dt, (12.6)
h2[F”(z + h) - F”(z)] = h3F”‘(s) + . . +
h2P Jd2”) (4
(21, - 2)!
h
+ h2
J'
F(2p+1)(x + h ~ t)
t2"-2
(21, ~ 2)!
dt, (12.7)
0
h” [F@)(s + h) - &‘@)(z)] = hk+‘F(“+‘)(z)
+ . + (2phyk)! F(2P)(x)
1L
+ h’” J’
F(2p+1)(x + h - t) t2p-” dt. (12.8)
(2p ~ k)!
0
On poursuit le calcul jusqu’à l’ordre (217 - l), soit :
h
h2P-l $2PF1+-+ /+F(2PPl)
(X)l =
h2Pj7(2P)(x)+ h2P-1
/
F(2p+‘)(x + h - t)t dt. (12.9)
0
À présent, nous allons multiplier l’égalité (12.5) par BO, puis l’égalité (12.6) par Bi/l! et ainsi
de suite, c’est-à-dire l’égalité (12.8) par Bk/k!. Additionnons toutes ces relations, puis, en se
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