12. LES POLYNÔMES DE BERNOULLI,
FORMULE D'EULER-MACLAURIN
nombres de Bernoulli non nuls :
1
BO
= 1
B1
=
-2
1
30
1
1
Bfj
= -
BS
= -42
30
691
Blo
5
= -
B12 = -~
66
2 730
7
3617
B14 = -
B16 = ~~
6
510
174 611
BIS
43 867
= -
B2,, = -~
798
330
854 513
Bas
236 364 091
Bz2
= ~
= -
138
2730
1.3. Expression des polynômes de Bernoulli en fonction des nombres
de Bernoulli
Pour I C = 0, l’expression (12.1) nous donne :
U
uzn
exp(u) - 1
=l+Blu+B2;+B&+.~
~
. + Bzn (2n)! + . .
il s’ensuit que :
u exp(uz)
U
exp(u) - 1 = exp(u) - 1
exp(ux) =
u2x2
u3x3
UkXk
1 + 7 + 7 + 7 + . . . + 7 + . . .
l+BIu+B~;+B,$+-~
Uzn
~
. + B2n (2n)! + . .
>
= 2 $Bn(x) = 1 + B&); + B,(x): + B&>$ + ...
n=O
L’identification des termes en u donne :
Bk cx) Xk
xk-l
Ic! = XT+ (k-l)!
1
‘ . . + ~~;;1
si k est impair,
. ..+ -g
si k est pair.
De là nous tirons l’expression générale :
&(x) = xk + xk-lB1 + x”-~C~B~ + xkp4C;B4 + . . .
. . . + X&+l si k est impair,
. + Bk
si k est pair.