MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
puis la relation de définition (12.1), on déduit alors l’expression suivante :
Bk(l- x) = (-l)“B&)
ce qui permet d’écrire :
Bk(1) = (-l)“Bk(O).
En intégrant la relation (12.1) par rapport à Z, on établit que :
s
Bk(x)dx=O
pour k>O.
0
On obtient alors :
BO(X) = 1,
1
Bl(X) = x - ->
2
1
B2(x)=x2-xf- 6’
3
x
BS(X) = x3 - -x2 + -.
2
2
1.2. Les nombres de Bernoulli
Par définition, les nombres de Bernoulli sont donnés par l’expression :
(12.4)
En faisant x = 0 dans la formule (12.1) pour obtenir les nombres de Bernoulli, on voit que la
fonction :
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exp(u) - 1
+ ; = ;coth;
est une fonction paire. On déduit alors que :
et
B2m+1=0
avec m 2 1.
Il s’ensuit que les nombres de Bernoulli de rang impair ~ hormis le premier - sont nuls
et que seuls diffèrent de zéro les nombres de Bernoulli de rang pair. Voici donc les premiers
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