12 Les polynômes de Bernoulli,
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/ : / formule d’Euler-MacLaurin.
Méthode de Romberg et autres
1 techniques d’intégration
1. Formule d’Euler-MacLaurin
Les polynômes et les nombres de Bernoulli (Jacques Bernoulli 1654-1705) jouent un rôle
important en analyse mathématique. Ces éléments sont à la base d’une technique d’intégration
numérique obtenue à partir de la formule d’Euler-MacLaurin, laquelle sert ensuite de tremplin
à la méthode de Romberg. Au passage nous verrons une application des nombres de Bernoulli
au calcul de la constante d’Euler.
Ces polyômes de Bernoulli possèdent une autre propriété concernant les séries de Fourier :
on peut considérer les fonctions périodiques de période 1 représentées sur une période par les
polynômes de Bernoulli de degré 4 et noté B4(z). Le coefficient de rang n de ce développement
(a, ou b,, selon la parité) est en l/nq. Cette propriété relie aussi de près ces polynômes à
la fonction dzeta de Riemann (182661866), et plus spécifiquement les nombres de Bernoulli.
En outre, cela signifie que les fonctions périodiques qui sont définies sur une période par les
polynômes de Bernoulli, non seulement sont continues, mais ont toutes leurs dérivées continues
partout. Notamment, aux extrémités de l’intervalle (0, l), les fonctions sont continues à dérivées
continues, bien entendu, nous ne nous intéressons qu’aux dérivées non nulles.
1.1. Fonction génératrice des polynômes de Bernoulli
Les polynômes de Bernoulli sont les coefficients du développement de l’expression suivante :
u exp(uz)
exp(u) - 1
= z. $wd.
(12.1)
Par dérivation de la formule (12.1), on montre que :
et par identification directe, on voit que :
E&(z) = 1.
(12.3)
En utilisant l’identité :
(-2~) exp( -zu) = u exd(l - ~14
exp(-u) - 1
exp(u) - 1
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