11.
CALCUL DE QUELQUES INTÉGR.ALES
AU MOYEN D’UN CHANGEMENT DE VARIABLE
2. Intégrale de la forme I = J f(x)z/Gdx
0
Il va de soi que nous allons nous intéresser aux polynômes orthogonaux U,(X) relativement à la
fonction de base W(X) = G et l’intervalle (0, l), soit :
I
I
Un(x)Uk(x)G
dz = 0
avec m # k.
0
Le changement de variable y = fi, soit 2 = 1 ~ y2, nous permet d’tcrire :
1
s
y2Un(l ~ y2)Uk(l - y”) dz = 0
avec m # k.
0
Comme l’élément différentiel est une fonction paire, on en conclut que :
+1
s
y2&(l - y2)Uk(1 -y”) dz = 0
avec m # k.
-1
Par conséquent les polynômes yU,, (1 - y”) sont des polynômes impairs orthogonaux sur
l’intervalle (0,l) relativement à la fonction de base W(Z) = fi. Il s’agit là des polynômes
de Legendre de degré impair qui sont de surcroît impairs. Donc :
de là on déduit que :
On calculera les racines yk de Uzn+i (y) \ p t’ d
a ar ir es racines du polynôme de degré (2n + 1).
Remarquons que les polynômes de Legendre de degré impair possèdent toujours une racine
nulle et 2n racines réelles opposées, donc pour obtenir les yh il suffit de poser :
yk = 1 - x;.
La racine nulle de Pzn+s(z) correspond à la racine nulle évidente du polynôme yUn+1 (1~ y2).
À présent, calculons les H,$ correspondant aux yk :
1
H;c
’
u;+,(Yd
J’
‘n+l (YY)dy.
Y ~ Yk
0
Le changement de variable 2 = fi transforme cette expression en :
1
s
Un+i(1 ~ 33)X?
dy.
J: - xk
0
169