11. CALCUL DE QUELQUES INTÉGRALES AU MOYEN D’UN CHANGEMENT DE VARIABLE
On obtient alors
H; =
1
J
P2n+2 (x) dz
x + xk
0
1
Soit en définitive :
+1
H; =
p;71+t(2d -1 J
P2n+2 (x) dz = 2Hk
II: - xk
où, n’hésitons pas à le répéter, les Hk sont les poids correspondant aux xk du polynôme de
Legendre de degré (2n + 2). En résumé nous avons :
yk = 1 - x;
H; = 2Hk.
1.1. Calcul numérique des yk et des Hk des polynômes V,(x)
Il n’est pas très difficile de calculer ces grandeurs, et le tableau 11.1 donne les résultats du calcul
pour le polynôme de degré 11. Sur le Web (*), on trouvera les résultats concernant les premiers
polynômes dans le fichier texte vn-x . txt.
Tableau 11.1. Zéros et poids correspondants des polynômes l&(x).
Degré
yk
Hk
0,995 136 433 756 837
0,278 503 745 711265
0,956 794 043 016 991
0,273 082 996 692 025
0,883 079 894 390 853
0,262 347 009 574 158
0,779 705 097 347 766
0,246 504 753 620 871
0,654 678 756 166 416
0,225 864 592 161418
11
0,517 687441268 599
0,200 828 288 893 594
0,379 344 680 233 946
0,171883 212 409 773
0,250 368 580 202 265
0,139 592 936 925 331
0,140 751142 618 251
0,104 586 670 228 415
0,058 982 630 398 875
0,067 549 803 115 903
0,011378 277 344 275
0,029 255 990 740 224
1.2. Technique d’intégration
On utilise toujours la même relation pour effectuer une approximation de la valeur de 1, soit :
J = ,&f;f(yk).
k=O
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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On obtient alors
H; =
1
J
P2n+2 (x) dz
x + xk
0
1
Soit en définitive :
+1
H; =
p;71+t(2d -1 J
P2n+2 (x) dz = 2Hk
II: - xk
où, n’hésitons pas à le répéter, les Hk sont les poids correspondant aux xk du polynôme de
Legendre de degré (2n + 2). En résumé nous avons :
yk = 1 - x;
H; = 2Hk.
1.1. Calcul numérique des yk et des Hk des polynômes V,(x)
Il n’est pas très difficile de calculer ces grandeurs, et le tableau 11.1 donne les résultats du calcul
pour le polynôme de degré 11. Sur le Web (*), on trouvera les résultats concernant les premiers
polynômes dans le fichier texte vn-x . txt.
Tableau 11.1. Zéros et poids correspondants des polynômes l&(x).
Degré
yk
Hk
0,995 136 433 756 837
0,278 503 745 711265
0,956 794 043 016 991
0,273 082 996 692 025
0,883 079 894 390 853
0,262 347 009 574 158
0,779 705 097 347 766
0,246 504 753 620 871
0,654 678 756 166 416
0,225 864 592 161418
11
0,517 687441268 599
0,200 828 288 893 594
0,379 344 680 233 946
0,171883 212 409 773
0,250 368 580 202 265
0,139 592 936 925 331
0,140 751142 618 251
0,104 586 670 228 415
0,058 982 630 398 875
0,067 549 803 115 903
0,011378 277 344 275
0,029 255 990 740 224
1.2. Technique d’intégration
On utilise toujours la même relation pour effectuer une approximation de la valeur de 1, soit :
J = ,&f;f(yk).
k=O
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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