MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
Le changement de variable y = G, soit x = 1 - y’, nous permet de transformer l’intégrale
de la façon suivante :
1
s
vn(l - y2)v& - Y') dy = 0.
0
Remarquons que l’on peut étendre l’intégrale à l’intervalle (-1, +1) puisque l’élément différentiel
est une fonction paire, d’où :
+1
J'
I&(l - y2)Vk(1 - y”) dy = 0.
-1
La suite des polynômes Vn(x), lesquels sont des polynômes pairs, n’est rien d’autre que la
suite des polynômes de Legendre d’indice pair. En effet, il suffit de se reporter à la formule
de Rodriguès pour vérifier que les polynômes de Legendre d’indice pair sont pairs et que les
polynômes de Legendre d’indice impairs sont impairs. Il s’ensuit que l’on peut écrire que :
KL+1(1 -X"I = P2n+2(x) = K(Y),
et que les racines yk Sont données par l’expression :
Il convient de rappeler ici que les X ~ C sont les zéros du polynôme de Legendre de degré (2n+ 2).
Comme les racines des polynômes de Legendre sont opposées, on ne conserve que les xk positifs
pour calculer les yk.
Il nous reste à voir comment les Hk associés aux X ~ C doivent être calculés. Pour cela reprenons
l’expression générale :
H; =
1
l %+1(Y) 1
v;+dYk) o &=i Y - yk dy
J’
dans laquelle on effectue le changement de variable :
y=l-x2,
soit dy = -2x dz.
En remarquant au préalable que :
$L:,(Y) = -&P2nt2(x)~ = -&G,+,(4 = Vi+l(Y)
l’expression de H* devient :
H; =
Cette dernière expression se transforme en utilisant l’identité :
1
1
1
1
22-G
~- ~.
k
x - xk
x + xk 1