Il CaIcuI de quelques intégrales
relevant des études
IP récédentes au moyen d’un
1 changement de variable
Eu égard à la grande simplicité et à la grande précision de la méthode de Gauss généralisee7
on
est fortement tenté de passer en revue le plus grand nombre de polynômes orthogonaux dans le
but évident de calculer le plus grand nombre d’intégrales présentant des singularitcs.
Tout d’abord il nous faudra définir les polynômes orthogonaux relativement à la fonction
poids W(X) sur l’intervalle fondamental fini ou infini (n; b); puis calculer leurs zeros zk ainsi que
les Hk associés. Gomme trois polynômes consécutifs de la suite ortjhogonale
obcissent à une
relation de récurrence (cf. annexe B), on cherche à obtenir les coefficients de ladit,e relation de
récurrence ; en règle générale, les deux premiers polynômes sont faciles à calculer.
En désignant par W7),(x) le polynôme de dcgre n de la suite orthogonale cnvisagec, on peut
écrire une relation de la forme suivante :
wn+l(x) - [&(X)X + &(17:)]%(x) + G,(x)VL,(x) = 0
Ensuite, il faut être en mesure de calculer la norme d’un polynôme :
I= w(x)W,l(x) dx
J’
u
car cette quantité intervient dans le calcul des Hk. Bien que le champ d’investigation soit en
principe infini, il n’y a que peu d’issues conduisant à des expressions qui puissent être aisknent,
traitées analytiquement et qui autorisent le calcul effectif des xk et des Hk. D’une manier-e tout
à fait générale, les polynômes susceptibles de déboucher sur des rksultats pratiques relèvent
de l’étude des polynômes hypergéométriques encore appelés polynômes de .Jacobi. Nous allons
passer en revue un certain nombre de cas typiques dont l’etude se ramène aux cas précédemment
abordés.
1. Intégrale de la forme : I = j fodx
()2/1”
Il s’agit donc d’étudier les polynômes Vn(x) orthogonaux relativement à la fonction poids W(X) =
&) sur l’intervalle fondamental (0,l). Soit :
165
relevant des études
IP récédentes au moyen d’un
1 changement de variable
Eu égard à la grande simplicité et à la grande précision de la méthode de Gauss généralisee7
on
est fortement tenté de passer en revue le plus grand nombre de polynômes orthogonaux dans le
but évident de calculer le plus grand nombre d’intégrales présentant des singularitcs.
Tout d’abord il nous faudra définir les polynômes orthogonaux relativement à la fonction
poids W(X) sur l’intervalle fondamental fini ou infini (n; b); puis calculer leurs zeros zk ainsi que
les Hk associés. Gomme trois polynômes consécutifs de la suite ortjhogonale
obcissent à une
relation de récurrence (cf. annexe B), on cherche à obtenir les coefficients de ladit,e relation de
récurrence ; en règle générale, les deux premiers polynômes sont faciles à calculer.
En désignant par W7),(x) le polynôme de dcgre n de la suite orthogonale cnvisagec, on peut
écrire une relation de la forme suivante :
wn+l(x) - [&(X)X + &(17:)]%(x) + G,(x)VL,(x) = 0
Ensuite, il faut être en mesure de calculer la norme d’un polynôme :
I= w(x)W,l(x) dx
J’
u
car cette quantité intervient dans le calcul des Hk. Bien que le champ d’investigation soit en
principe infini, il n’y a que peu d’issues conduisant à des expressions qui puissent être aisknent,
traitées analytiquement et qui autorisent le calcul effectif des xk et des Hk. D’une manier-e tout
à fait générale, les polynômes susceptibles de déboucher sur des rksultats pratiques relèvent
de l’étude des polynômes hypergéométriques encore appelés polynômes de .Jacobi. Nous allons
passer en revue un certain nombre de cas typiques dont l’etude se ramène aux cas précédemment
abordés.
1. Intégrale de la forme : I = j fodx
()2/1”
Il s’agit donc d’étudier les polynômes Vn(x) orthogonaux relativement à la fonction poids W(X) =
&) sur l’intervalle fondamental (0,l). Soit :
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