M ANUEL DE CALCUL NUMÉ RIQUE APPLIQUÉ
Bien entendu, comme toutes les fois en pareil cas, on recherche une majoration la plus
raisonnable possible de la fonction f(2n+2) (5) dans l’intervalle (-1, +l), en définitive, l’erreur
s’exprime de la manière suivante :
E(x) = (2T;+;)! i(
dzq2n + l)!! - 2 &7$+2
k=O
(10.4)
où Ad&+2 = sup 1 f(2n+z) (x) 1 pour I I : appartenant à (-00, +~CI).
Dans la mesure où l’on peut obtenir une majoration raisonnable Mzn+2, E(z) donne l’erreur
mathématique liée à la troncature de la série des polynômes de Laguerre. Viendront s’ajouter
lors des calculs effectifs les inévitables erreurs d’arrondi propagées par l’exécution des opérations.
Pour 72 = 12, on trouve :
Ez4 = 1,935 10-15M24.
Les poids et les racines du polynôme de degré 12 figurent sur le tableau 10.2, tandis que le fichier
texte appelé hermite. txt que l’on trouvera sur le Web(*) donne les résultats concernant les
douze premiers polynômes.
Tableau 10.2. Racines et poids associés des premiers polynômes d’Hermite.
Degré
X
H
*0,444 403 001944 139
0,806 292 983 509 187
51,340 375 197 15162
0,368 391758 069 477
f2,259 464 451000 80
0,072 984 713 184 739
12
*3,223 709 828 770 10
0,005 523 056 331147
f4,271825 847 932 28
0,000 121250 244 966
f5,500 901704 467 74
0,000 000 375 975 985
11. Fonction génératrice des polynômes d’Hermite
Nous admettrons les résultats suivants sans démonstration :
t2
exp xt - -
(
)
t
t2
tn
2
= Ko(x) + -K1(x) + -K2(2) + . . . + -K,(x) + '.
1
2
n
ou encore si l’on fait usage des fonctions du cylindre parabolique :
(
X2
-T+xt-;
1
t
t2
tn
exp
=Do(x) + -01(x) + -Dz(x) +...+ -l&(x) t...
1
2
n
Dans le cas où l’on utilise la définition :
Ki(x, u) = (-1)7’exp(a22)$ exp(-ax2):