10. LES poLyNôMEs D'HERMITE
comme
+ ‘ = -
s
exp (-x
2 /2) dz = 6,
-cc
on trouve que :
Q zn+2 = (2n + l)!!&%.
Par ailleurs QzTL+r étant une fonction impaire, Qzn+r = 0. Revenons au calcul de 1 :
I = v% [
f(0) + ‘. . + 7$2q- l)!! +...+ f’““+“‘(E) (2 + y!)
(2n+2)!
n
1
L’exploitation directe de la formule d’intégration de Gauss-Hermite donne :
f’“‘(0) n
fPn+2)(<) n
J=S(D)~Hi+...+~~H~x~+..-+
c2n+2j! zHkxk”‘“.
k=O
k=O
k-0
L’erreur E s’écrit :
jGq+l) (0)
+ ..‘+ (n + 1)(2q + l)! k=. 5
xkq+l + . . + Pc$
. i
(2~7 - l)!!fi - 2 H~Z;
k=O
+...+ f(2n+2)(o
(2n+2)!
&q2n+l)rl- .
kHkxb’“f2 .
k=O
Si f(x) est un polynôme de degré (2n + l), la dérivée de f(x) d’ordre (2n + 2) est nulle, et l’on
a l’égalité :
I = J.
Dans ce cas il n’y a pas d’erreur mathématique due à une approximation; on obtient en
conséquence le système suivant :
c a+1 _
ï &xk - 0
k=O
n
~Hk:xkp = (2p- l)!!&
k=O
donc
je+21 (0
E= (2n+2)!
d%(thz + l)!! - 2
k=O
161
comme
+ ‘ = -
s
exp (-x
2 /2) dz = 6,
-cc
on trouve que :
Q zn+2 = (2n + l)!!&%.
Par ailleurs QzTL+r étant une fonction impaire, Qzn+r = 0. Revenons au calcul de 1 :
I = v% [
f(0) + ‘. . + 7$2q- l)!! +...+ f’““+“‘(E) (2 + y!)
(2n+2)!
n
1
L’exploitation directe de la formule d’intégration de Gauss-Hermite donne :
f’“‘(0) n
fPn+2)(<) n
J=S(D)~Hi+...+~~H~x~+..-+
c2n+2j! zHkxk”‘“.
k=O
k=O
k-0
L’erreur E s’écrit :
jGq+l) (0)
+ ..‘+ (n + 1)(2q + l)! k=. 5
xkq+l + . . + Pc$
. i
(2~7 - l)!!fi - 2 H~Z;
k=O
+...+ f(2n+2)(o
(2n+2)!
&q2n+l)rl- .
kHkxb’“f2 .
k=O
Si f(x) est un polynôme de degré (2n + l), la dérivée de f(x) d’ordre (2n + 2) est nulle, et l’on
a l’égalité :
I = J.
Dans ce cas il n’y a pas d’erreur mathématique due à une approximation; on obtient en
conséquence le système suivant :
c a+1 _
ï &xk - 0
k=O
n
~Hk:xkp = (2p- l)!!&
k=O
donc
je+21 (0
E= (2n+2)!
d%(thz + l)!! - 2
k=O
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