MANUEL DE CALCUL NUMÉRIQUE APPLIQUÉ
on en déduit que :
et que, par conséquent, on a :
K&(x, 2~) exp(-rx2) ?-, *j”Kh(u, 2~) exp(+u2),
l’ambiguïté du signe se trouve levée en examinant le terme de plus haute puissance (coefficient
uP), mais on a déjà établi la relation suivante :
1
dp
upxp exp( -7rx2) 3 ap - ~
(27rj)p dup
exp( +ru2),
ce qui permet de conclure que le signe à conserver est le signe plus.
10. Calcul de l’erreur commise lors de l’approximation
Nous allons reprendre le calcul réalisé lors de l’étude de la méthode de Gauss-Legendre, seuls
quelques points de détails vont différer.
Soit à calculer :
+CX
1=
J
exp (-x2/2) f(x) dz
-CO
Supposons que f(x) soit continûment différentiable sur l’intervalle fondamental (-03, fco). Le
développement de Taylor-MacLaurinà l’ordre (2n + 2) nous donne :
f(x) = f(0) + $(O) + g”(o) + . . . + j2yy;), f’““+“(O) +
22n+2
(2n + 2)!
f(2n+2) (0 7
expression dans laquelle 2 et c appartiennent à l’intervalle (-00, +co). Calculons 1 en remplaçant
f(x) par son développement, il faudra calculer des expressions du type :
Q2n+2 =
J
exp (-x2/2) x2n+2 dz =
J
exp (-x
2 /2) x2n+1x dz.
-03
-cc
On intègre par parties cette expression en posant :
21 = x2n+lx
et du = exp (-x
2 /2) 2 dJ:
ce qui donne :
du = (2n + 1)x2” dz
et u = - exp (-x2/2) .
On peut écrire :
Q 2n+2 = [-ew-x2/2)x 2n+‘]+z + (2n + 1) Texp (-x2/2) x2n dx,
-cc
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