10. LES POLYNÔMES D’HERMITE
avec une propriété importante :
xPf(x) TE) LF(qu).
GWP
Nous allons montrer que :
K;(x, 2~) exp(-7rx2) TF> j”Ki(u, 2X) exp(+u2).
Si f(s) = xp exp(-7rx2) on obtient pour sa transformée de Fourier (cJ chapitre 16) :
x* exp( -Xx2) TF)
1
dP
--exp(-7ru2).
(27rj)p dup
Or, en faisant usage de la relation générale de définition des polynômes d’Hermite, on peut
écrire :
1
m $ ew-m2) = Pp(u) exp(-nu2)
où PP(u) est un polynôme de degré p. Comme tout polynôme d’Hermite peut se développer de
la façon suivante :
Iq(x, 27r) = 2 ap2p,
p=o
on en déduit que
KG(“, 27r) exp(-rz2) TF) Qn(u) exp(-7w2).
Il s’agit maintenant de déterminer le polynôme Qn(u). La démonstration repose sur les
propriétés des produits scalaires dans L2, et en particulier, de la relation suivante :
(f(x), f(-x)) = (F(u)7 F(u))
dont on trouvera une démonstration dans le chapitre 16 concernant les transformées de Fourier.
Comme la relation de définition permet d’écrire :
Ici(-x, 27r) = (-l)nK;(x, 27r),
on en déduit que :
(KA(-x,2~) exp(-7rz2), K;(x) 2~) exp(+z2))
= (-1)‘“6,, = (Qn(~, 2~) exp(-TX’), Qm(x, 27r) exp(-m2)).
À présent, changeons Qm(x, 27r) en (J’)~R,(x, 2n), il vient :
(~L(X, 2~) exp(+x2), I&(x, 2~) exp(9rx2)) = 6,,,
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