MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
La décomposition d’une fonction f(x) appartenant à L2 sur (-CO, +co) s’effectue en calculant
les coefficients du développement de Fourier correspondant, soit :
On multiplie les deux membres de cette dernière expression par D&(x) puis on procède à
l’intégration sur l’intervalle (-oo, DC)), on obtient :
+m
J
~(X)I?;(X, a) dz = JF C,&(x)o;(x, a) dz = g ck /o;(x, u)o&(X, a) dz
-CO
-w k=O
k=O
-oo
00
+C=
=c J
ck
K*(z)Kk(x) exp(-ax2) dz
k=O -oo
et compte tenu de l’orthogonalité, on trouve :
+03
J
f(x)D&(x,a) dz = c,l, = c,m!$(a,)”
-00
et
ainsi que
c. = ~‘5 imi(x) exp(-ax2) dz.
J
On trouvera la démonstration de la convergence des intégrales c, ainsi que celle de la série
associée à la fonction f(x) dans les ouvrages de Arsac et de Bass cités en bibliographie.
Un cas particulier intéressant
C’est le cas où a = 27r qui permet d’obtenir des résultats simples lorsque l’on est amené à
travailler dans l’espace réciproque de Fourier (cf. chapitre 16).
Nous écrivons :
Jz
(
1
112
K;(x, 27r) = (-1)” rL!T(47r)” exp (27rx2) $ exp (-2~2~) ,
expression qui rend les polynômes orthonormés.
En rappelant que la transformation de Fourier directe s’écrit :
+CC
F(u) =
J
f(x) exp(27rjxu) dz,
-00
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