10. L ES PoLYh&rEs D'HERMITE
Tableau 10.1.
Nombre de points
Résultat
4
0,999 222
5
1,000 043
6
0,999 998 143
7
1,000 000 175
8
1,000 000 097
9
1,000 000 099
12
1,000 000 099
9. Autres notations très utiles
Il arrive que des auteurs adoptent une définition légèrement différente pour les polynômes
d’Hermite, soit :
K;(x,u) = (-l)n exp(az’)$ exp(-ax2),
expression dans laquelle a est un nombre positif (il s’agit d’une formule analogue à celle de
Rodriguès concernant les polynômes de Legendre).
Dans ce cas, la relation de récurrence entre trois polynômes consécutifs s’écrit :
K*Lfl(X) u) = 2azK;(lç, u) - 2aTX-,(z, a).
De même, la relation faisant intervenir les dérivées prend la forme :
K;‘(z, u) = 2unK;p,(z, a),
et le carré scalaire de l’intégrale vaut alors :
1 =I 4q2q
7l . B
n
. 2
.
En remarquant que :
on obtient les modifications à apporter aux expressions des racines et des poids des polynômes
correspondants, à savoir :
xk = x&
Les fonctions 02(x, u) = exp(-uz2/2)Kz(x), encore appelées fonctions du cylindre parabolique ou fonctions de Weber-Hermite, constituent une base orthogonale de l’espace L2 qui est
l’espace des fonctions de carré sommable sur (-CO, +oo) ( 7 f(x)’ dz).
-cc
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