MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
7. Calcul des poids Hk correspondant aux racines xk
Rappelons tout d’abord que ce calcul est effectué dans l’hypothèse où les racines ~k sont les
(n + 1) zéros du polynôme de degré (n + 1). La relation (B.5) de l’annexe B s’écrit alors :
expression dans laquelle on aura soin de ne pas confondre la constante K avec un quelconque
polynôme d’Hermite. On trouve que la constante K vaut n!fi.
Grâce à la relation (10.3), on obtient diverses expressions de Hk aisées à calculer, soit :
En exploitant une de ces relations, on calcule numériquement sans difficultés les poids Hk
associés aux racines zk. On trouvera dans le tableau 10.2, page 162 les valeurs numériques de
ces poids en face des racines correspondantes pour le polynôme de degré 12.
8. Technique de calcul des intégrales du type I = Sexp (-x*/2) f(x)dx
où f(Z) est une fonction régulière sur l’intervalle (-00, +co). L’approximation se réalise au
moyen de la somme :
expression dans laquelle les X ~ C sont les racines du polynôme de degré (n + 1).
Exemple
On se propose de calculer une intégrale dont on connaît la valeur numérique, soit :
exp (-x
2 /2) COS(X) dz = 1.
Les résultats que nous avons obtenus sont donnés dans le tableau 10.1, page ci-contre.
Remarque : On note qu’il n’y a pas de difficultés pour calculer les intégrales du type :
I= /‘:xp(-$)f(x)dx
en effet, le changement de variable :
nous permet de revenir au cas canonique que nous venons de traiter.
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