10. LES PoLmôms D’HERMITE
Effectuons une intégration par parties en posant :
du = & exp (-x2/2) dz
soit
dk-1
7~ = dz”l exp (-=73/2)
et
u = exp(2’/2) & exp (-x2/2)
soit, après transformation donnée par la formule de Leibnitz :
du = -72 exp(2’/2) s exp (-CC~/~)
Dans le cas où n # k, le produit u . w est nul sur l’intervalle (-CO, foc) car il contient
exp (-x2/2) en facteur. On peut alors écrire :
Ink = In-C-1
et de proche en proche on obtient :
+03
Ink = n! s
s exp (-x2/2) dz
Or
+CC
J
dk-n
s exp (-x2/2) dz = 0
quand k # n.
Donc les polynômes d’Hermite sont orthogonaux. On en déduit immédiatement que les zéros
d’un polynôme d’Hermite de degré n sont distincts, réels et répartis sur l’intervalle (-03, +oo).
Il nous reste à présent à calculer la norme d’un polynôme, il suffit de faire n = k dans
l’expression de Ink :
+CC
In, = In = n!
J
exp (-x
2 /2) dz = n!&.
6. Calcul des racines des premiers polynômes d’Hermite
On trouvera un tableau 10.2, page 162, donnant les racines du polynôme d’Hermite de degré 12
que nous avons calculées en double précision.
Sur le Web (*), on donne le programme r-hermit . c qui calcule les racines et les poids des
polynômes d’Hermite.