MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
2. Relation de récurrence entre polynômes et dérivées
Dans le même esprit que précédemment, nous allons établir une relation de récurrence simple
entre les polynômes et les dérivées à seule fin d’obtenir une expression de Hk aisément calculable.
Pour ce faire nous dérivons la relation de définition et nous obtenons :
K;(x) = (-l)nexp(z2/2)$$exp
(-x2/2) + (-l)‘“exp(x”/2)& [-zexp (-x2/2)] ,
ce qui donne grâce à la formule de Leibnitz :
K;(x) = TX,-l(X).
(10.3)
3. Les premiers polynômes d’Hermite
Puisque nous bénéficions de la relation de récurrence (10.2), il suffit en réalité de connaître les
deux premiers polynômes d’Hermite pour déterminer tous les autres. Nous obtenons :
Ko(x) = 1
ICI(X) = x
K&4=x2-1
K3(x)=x3-3x
I&(x) = x4 - 6x2 + 3
et ainsi de suite.
4. Calcul des coefficients des premiers polynômes d’Hermite
On trouvera sur le Web (*) 1 e programme hermite. c destiné à calculer les coefficients des
polynômes d’Hermite dans le but plus précis de calculer leurs racines.
5. Orthogonalité des polynômes d’Hermite
Les polynômes d’Hermite sont orthogonaux relativement à la fonction poids exp (-x2/2) et à
l’intervalle (-CO, +oo). C’est ce que nous allons montrer en calculant l’intégrale Ink. Sans nuire
à la généralité, on peut supposer que k > n :
+CC
Ink =
s
exp (-x2/2) K(x)&(x) dz,
-00
soit encore :
+CC
Ink = (-l)n+k .I exdx2/2)& exp (-x2/2) $ exp (-x2/2) dz.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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