10 Les polynômes d’Hermite.
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La méthode d’intégration
1 _ r .
de Gauss-Hermite
Ce sont des polynômes orthogonaux relativement à la fonction poids gaussienne et sur l’intervalle
(-oo, +oo). Nous allons en effectuer une étude en tout point semblable à celle des polynômes de
Laguerre. Pour des raisons qui apparaîtront un peu plus loin, le polynôme d’Hermite (182221901)
de degré n est défini par la relation :
&(Cc) = (-1)‘“exI@/2)~
exp (-332) .
(10.1)
1. Relation de récurrence entre trois polynômes consécutifs
Pour obtenir la relation désirée, il nous suffit de développer l’expression de l(n+r(z), soit :
K,+l(z) = (-l)%+l exp(3?/2)& [zexp (-X”/L)]
à laquelle on applique la formule de Leibnitz :
ce qui nous permet d’écrire :
(-l)“+‘Kn+r(~) = exp(Z2/2)
(
- x$ exp (-x2/2) - ns exp (-x2/2) .
1
On en déduit immédiatement :
(-l)“+‘Kn+&r) = -(-l)RZ&(Z) - (-1)12-1nKTL-1(X)
soit encore :
(10.2)