MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
En intégrant par parties d’une façon analogue à celle que nous avons envisagée lors de l’étude
des polynômes de Laguerre, on obtient J = 0 pour n # m.
Reste à calculer la norme :
1 = aexp(-z)zP” [LE (z)]” dz = n! /exp(-z)zP+” dz,
s
0
0
ce qui donne :
1 = n!rya + n + 1)
expression dans laquelle l?(u) est la fonction factorielle :
w
ryu) =
s
exp(-t)t”-’ dt.
13.4. Calcul des racines de Ln et des poids associés Hk
On ne peut pas dresser une table des racines et des poids associés puisque ces valeurs dépendent
du paramètre cr. Dans chaque cas particulier que l’on sera amené à considérer, il faudra construire
la chaîne de calculs déjà réalisée pour les cas prccédemment étudiés.
13.5. Technique de calcul des intégrales du type I = Sexp(--x)x-“f(x)dx
0
Bien entendu, f(z) est une fonction régulière sur (0, co), et l’approximation s’effectue comme
toujours au moyen de la relation :
expression dans laquelle les xk sont les zéros du polynôme de Laguerre généralisé LE+,(z) de
degré (n + 1).
13.6. Une autre relation de récurrence
On peut avantageusement utiliser une relation de récurrence portant sur les LE+,(x) pour
calculer les poids Hk. En effet, on établit que :
[LE(x)]’ = -EL;(x) + FL;-‘(x).
Si X ~ C est une racine de L:(x), on simplifie l’expression précédente :
[L,“(x)]’ = ~L;-l(x,).
Nous obtenons ainsi une forme aisée à calculer pour les HI, où nous n’avons plus à exprimer
formellement la dérivée.